Equation aux dérivées partielles

[Anonyme]

Bonjour


je me retrouve face à un méchant problème concernant la résolution
analytique d'une équation aux dérivées partielles.

Il s'agit de l'équation de Fourier de conduction de la chaleur:

du/dt=a.d²u/dx² (1)


(a est une constante positive et u représente la température)

j'ai trouvé une solution dans un bouquin que je n'arrive pas à
redémontrer et donc je me tourne vers vous.

Cette solution est un peu particulière à cause des conditions aux
limites données en termes de flux de chaleur:
q(t)=-l.du/dt pour x=0 (l est une constante positive)

et q(t) a la forme (par hypothèse) suivante:

q(t)=q_m+SUM_j q_j.cos(jwt-phi_j) (somme sur j, w
est omega et q_j désigne "q indice j ; q_m est le flux moyen)


La solution donnée est:

u(x,t)=u_m+SUM_j T_j.exp(-x.RACINE(j.w/(2.a))).cos(jwt-phi_j-PI/4+x.RACINE(j.w/(2.a)))



Pour redémontrer celà j'ai posé:

u(x,t)=X(x).T(t)

en insérant dans (1) et retravaillant, je trouve:

1/X(x).d²X/dx² = 1/(a.T(t)).dT/dt == -nu² (ça je crois
que c'est du classique chacun des membres étant indépendant selon x ou
t on peut introduire -nu² comme une constante appartenant à R, cette
constante est négative pour que la solution de T(t) tende vers 0
lorsque t tend vers l'infini)

j'arrive donc à 2 équations différentielles:

X''+nu².X=0
T'+a.nu².T=0


elles ont pour solution:

X(x)=A.cos(nu.x)+B.sin(nu.x)

T(t)=C.exp(-a.nu².t)


étant donné que nu appartient à R, la solution de u(x,t) est donc:

u(x,t)=INTEGRALE_SUR_R (exp(-a.nu².t).(D.cos(nu.x)+E.sin(nu.x)) dnu)




A partir de là je ne sais plus comment continuer pour arriver au
résultat final!!!

Une idée


Brice


PS: si vous avez des liens sur des cours sur les équas diff (en
français, anglais ou allemand) je suis preneur!!! ce n'est pas trop
ma tasse de thé...

[Anonyme]

"Brice" a écrit dans le message de
news:13172c7.0411300917.7b158c1e@posting.google.com...
> Bonjour
>
>
> je me retrouve face à un méchant problème concernant la résolution
> analytique d'une équation aux dérivées partielles.
>
> Il s'agit de l'équation de Fourier de conduction de la chaleur:
>
> du/dt=a.d²u/dx² (1)
>
>
> (a est une constante positive et u représente la température)
>
> j'ai trouvé une solution dans un bouquin que je n'arrive pas à
> redémontrer et donc je me tourne vers vous.
>
> Cette solution est un peu particulière à cause des conditions aux
> limites données en termes de flux de chaleur:
> q(t)=-l.du/dt pour x=0 (l est une constante positive)
>
> et q(t) a la forme (par hypothèse) suivante:
>
> q(t)=q_m+SUM_j q_j.cos(jwt-phi_j) (somme sur j, w
> est omega et q_j désigne "q indice j ; q_m est le flux moyen)
>
> La solution donnée est:
>
> u(x,t)=u_m+SUM_j
T_j.exp(-x.RACINE(j.w/(2.a))).cos(jwt-phi_j-PI/4+x.RACINE(j.w/(2.a)))
>
> Pour redémontrer celà j'ai posé:
>
> u(x,t)=X(x).T(t)

On ne peut pas prendre cette hypothèse de séparation des fonctions de x et
de t, puisque la solution donnée montre le contraire !
Par contre on peut vérifier la formule donnée en faisant les dérivations par
rapport à t et à x.
Il me semble qu'il s'agit du problème d'un mur soumis sur une de ses faces à
un flux de chaleur décomposé en série de Fourier , qui se propage en x

A.J.

>
> en insérant dans (1) et retravaillant, je trouve:
>
> 1/X(x).d²X/dx² = 1/(a.T(t)).dT/dt == -nu² (ça je crois
> que c'est du classique chacun des membres étant indépendant selon x ou
> t on peut introduire -nu² comme une constante appartenant à R, cette
> constante est négative pour que la solution de T(t) tende vers 0
> lorsque t tend vers l'infini)
>
> j'arrive donc à 2 équations différentielles:
>
> X''+nu².X=0
> T'+a.nu².T=0
>
>
> elles ont pour solution:
>
> X(x)=A.cos(nu.x)+B.sin(nu.x)
>
> T(t)=C.exp(-a.nu².t)
>
>
> étant donné que nu appartient à R, la solution de u(x,t) est donc:
>
> u(x,t)=INTEGRALE_SUR_R (exp(-a.nu².t).(D.cos(nu.x)+E.sin(nu.x)) dnu)
>
>
>
>
> A partir de là je ne sais plus comment continuer pour arriver au
> résultat final!!!
>
> Une idée
>
>
> Brice
>
>
> PS: si vous avez des liens sur des cours sur les équas diff (en
> français, anglais ou allemand) je suis preneur!!! ce n'est pas trop
> ma tasse de thé...