Equa diff

[Anonyme]

bonjour
pourrez vous m'aider pour cet exo :

le but est d'etudier une fonction g definie sur I = ] 0 , +inf [

verifiant :
lim ( g(x) , x-->+inf ) = 0
et x² g' (x) + g(x) = x , avec x > 0

1) resoudre l'EDL x² y' + y = x sur I
pour la solution de l'equation sans second membre je trouve :
y = a exp (1/x) où a est un reel
mais j'arrive pas a trouver une solution particuliere
car je dois trouver une primitive de exp(-1/x) / x ce que j'arrive pas a
faire

2) montrer qu'il existe une unique solution g
telle que lim ( g(x) , x--> +inf ) = 0
verifier que g(x) = x f(x)
determiner la lim de g(x) lorsque x--> + inf


merci

[Anonyme]

On Mon, 24 Nov 2003, it was written:

> le but est d'etudier une fonction g definie sur I = ] 0 , +inf [
> verifiant :
> lim ( g(x) , x-->+inf ) = 0
> et x² g' (x) + g(x) = x , avec x > 0
>
> 1) resoudre l'EDL x² y' + y = x sur I
> pour la solution de l'equation sans second membre je trouve :
> y = a exp (1/x) où a est un reel
> mais j'arrive pas a trouver une solution particuliere
> car je dois trouver une primitive de exp(-1/x) / x ce que j'arrive pas a
> faire
As-tu reellement besoin de connaitre cette solution particuliere. As tu
essaye de l'ecrire simplement comme une integrale de exp(-1/x)/x dx?




> 2) montrer qu'il existe une unique solution g
> telle que lim ( g(x) , x--> +inf ) = 0
chaque solution de ton equation homogene tends, avec tes notations, vers
a. donc une seule solution generale admet 0 comme limite en prenant
a=\int^+\infty exp(-1/x)/x dx.




> verifier que g(x) = x f(x)
> determiner la lim de g(x) lorsque x--> + inf
Je suppose que c'est la limite de f que tu cherches ie la limite de
1/x\int_x^+\infty exp(-1/y)dy/y.

On peux aussi repasser par l'equation et ecrire
g(x)= x-x^2g'(x) soit f(x)= 1-xg'(x).

Bon courage.





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Mansuy Roger
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