Droite de Simpson et complexe

[Anonyme]

On Sun, 2 Nov 2003 18:36:36 +0100, "flo"
wrote:

>je recontre des difficultés pour cette exercice pouvez vous m'aidez ?
>
>le plan étant identifié à C (ensemble complexe), on considere trois points
>deux à deux distincts A,B,C du cercle unité U ( c'est un U avec une barre
>dans le U comme pour les ensembles R et C) définis par leurs affixes
>respectives e^(2ia), e^(2ib) et e^(2ic). Et je dois montrer que les projetés
>orthogonaux sur (AB), (BC) et (AC) du point µ d'affixe 1, sont allignés.
>
>merci d'avance pour toute réponse
voici une solution par les complexes
mais sans être horrible elle n'est pas très jolie :
soit A' le projeté ortho de U sur (BC)
zA'=zB+k(zB-zC) et zA'-1=k'i(zB-zC)
avec k et k' réels
on en déduit (qq calculs...)
zA'=(exp(2ia)*sinc*cosb-exp(2ic)*sinb*cosc)/sin(c-b)
on en déduit tout de suite
zB'
puis (qq calculs...)
zA'-zB'=K*(sin(b-c)cosa*exp(2ia)+sin(c-a)cosb*exp(2ib)+sin(a-b)cosc*exp(2ic))
avec K réel =sinc/(sin(c-b)sin(c-a))
on en déduit tout de suite zA'-zC'
et on constate alors sans difficulté que
(zA'-zB')/((zA'-zC') est réel (car le coeff de K est transformé en son
opposé)
donc A',B',C' alignés
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Pichereau Alain

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