Diverses questions

[Anonyme]

Bonsoir,

j'aimerais avoir de l'aide pour les questions suivantes:

d'abord plaçons-nous sur R muni de la tribu des boréliens, et soit m la
mesure de Lebesgue

(1) est-ce que le complementaire d'un ouvert dense est de mesure nulle ?

(2) peut-on trouver un ensemble d'interieur vide de mesure strictement
positive?

merci d'avance.
zeta

[Anonyme]

> Bonsoir,
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> j'aimerais avoir de l'aide pour les questions suivantes:
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> d'abord plaçons-nous sur R muni de la tribu des boréliens, et soit m la
> mesure de Lebesgue
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> (1) est-ce que le complementaire d'un ouvert dense est de mesure nulle ?
>
> (2) peut-on trouver un ensemble d'interieur vide de mesure strictement
> positive?

Non au 1), oui au 2) (on a clairement : (non 1)=>2)

Plus précisément : pour tout epsilon>0, il existe un ouvert U dense dans R,
et de mesure inférieure ou égale à epsilon

Soit (r_n) une suite parcourant l'ensemble des rationnels. Posons
U=union(B(r_n,epsilon/2^(n+1)), n=0..infinity).
avec B(r,a)=]r-a,r+a[.
Alors U est ouvert comme réunion de boules ouvertes, U est dense dans R car
il contient tous les rationnels, et la mesure de U est inférieure à la somme
des mesures des B(r_n,epsilon/2^(n+1)), qui vaut epsilon/2^n. Or
somme(epsilon/2^n,n=0..infinity)=epsilon

Le complémentaire de U dans R convient au (1), et est de mesure infinie

C'est assez paradoxal il faut bien l'admettre.

On peut de même, construire un compact d'intérieur vide inclus dans [a,b],
dont la mesure est aussi proche de b-a que l'on veut

Il n'y a pas de lien entre densité et mesure.

En revanche, une chose est sûre : un ouvert dense est toujours de mesure >0
(de même pour tout ouvert non vide)