Diagonalisation

[Anonyme]

(re)bonjour cette fois ci je voudrais vérifier si la réponse a un des
exercices que je fais est correcte

pour quelles valeurs de (a,b,c) rééls est il possible de diagonaliser cette
matrice

(1 a 1)
(0 1 b)
(0 0 c)
bizarrement je trouve qu'on ne peut jamais la diagonaliser en effet le
polynome caractéristique est (X-1)^2(X-c)
et si j'étudie la valeur propre 1 je trouve que l'on doit avoir b=0 et c=1
et d'autre part que le sous espace propre est de dimension 2 . Or si c=1
pour que ma matrice soit diagonalisable il faut que le sous espace propre de
1 soit précisément de dimension 3
ou est l'erreur dans mon raisonnement car il me semble étrange qu'aucune
valeur ne convienne

merci d'avance

[Anonyme]

In article ,
"Gauss" wrote:

> ....
> pour quelles valeurs de (a,b,c) rééls est il possible de diagonaliser cette
> matrice
>
> (1 a 1)
> (0 1 b)
> (0 0 c) ....



Il me semble que ça exige:

a = 0 ou (b = 0 et c = 1).

Ken Pledger.

[Anonyme]

Dans l'article ,
j'ai écrit:

>
> Il me semble que ça exige:
>
> a = 0 ou (b = 0 et c = 1)....



C'est faux. La bonne condition est

a = 0 et c != 1.

Ken Pledger.

[Anonyme]

Le Wed, 20 Apr 2005 09:11:37 +1200, Ken Pledger a écrit :

> Dans l'article ,
> j'ai écrit:
>
>[color=green]
>> Il me semble que ça exige:
>>
>> a = 0 ou (b = 0 et c = 1)....
>
>
>
> C'est faux. La bonne condition est
>
> a = 0 et c != 1.
>
> Ken Pledger.[/color]

Je ne crois pas a priori a est quelconque et b!=0 c!=1

* D'abord tu veux étudier E(1)
La deux cas obligatoires à faires : c=1 ou c!=1 (pas égal)

* c!=1 :
la méthode classique résoudre le système pour trouver un vecteur du
sous espace propre.

ici
c=1 => z=0 et enfin différentier sur a : * a!=0 :
=>y=0 donc dim(E(1)) y=0 (AX=cX et X=[x,y,z])


si b non nul :
E(c)=vect([1, (b+c-1)/(b*(c-1)), (b+c-1)/(b)] (2) en allant vite mais
c'es a regarder de plus près si on résoud du autre façon le système
j'ai trouvé également un vecteur

[1, b*(1-c)/(c+a*b), (1-c)^2/(c+a*b)] vecteur équivalent ? (3)

peut être une valeur imposée pour a car jusqu'ici a est quelconque.

ATTENTION : c'est pas tout à fait fini (exercice casse ...), reste à
imposser b pour que le vecteur donné par (1) par ex ne soit pas prop à
ceux trouvés en (1). On obtient b!=1-c ce qui reprend b!=0.

CONCLUSION : cette matrice est diagonalisable si c!=1, b!=1-c et (à
vérifier) a quelconque, dans la base :

[1,0,0] , [0,1,0] , [1,(b+c-1)/(b*(c-1)),(b+c-1)/(b)]

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs de calcul et que les explication
sont assez claires.

NB : pour ceux qui parlent du pollynome minimal, c'est bien mais ici c'est
inutile car au mieux il vaut (x-1)(x-c) donc n'apporte rien de plus et
perd même la dimension des sous espace propre pour avoir une matrice
diagonalisable.

[Anonyme]

Ken Pledger wrote in message news:...

> C'est faux. La bonne condition est
>
> a = 0 et c != 1.
>

Je confirme et j'explicite le raisonnement.

Notons qu'une matrice qui n'a qu'une seule valeur propre ne peut être
diagonalisable que si c'est la matrice d'une homothétie, donc déjà
diagonale.

Donc si c=1, la seule valeur propre est 1, mais la matrice n'est pas
diagonale à cause du 1 en haut à droite. Donc la matrice n'est pas
diagonalisable.

On suppose maintenant c != 1. On n'a pas de problème avec le
sous-espace propre associé à c : on a besoin d'un sous-espace de
dimension 1, or une valeur propre a toujours au moins un vecteur
propre associé. Ensuite on s'intéresse à la valeur propre 1 : il faut
vérifier que le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre
1 (le noyau de (X-1)^2) est en fait un sous-espace propre. Le
sous-espace caractéristique en question est l'espace engendré par les
deux premiers vecteurs de la base (car il le contient et est de
dimension 2), donc il s'agit juste de savoir si la matrice :
(1 a)
(0 1)
est diagonalisable, ce qui est vrai si et seulement si a = 0.