Deux questions comme ça, pour ma culture

[Anonyme]

1) Est-ce que, pour tout entier p, il existe une infinité de nombres
premiers congrus à 1 modulo p? Ou, de manière générale, pour tout entier
p et tout entier a premier avec p, existe-t-il une infinité de nombres
premiers congrus à a modulo p?

2) Existe-t-il des fonctions continues convexes dérivables nulle part?

--
Nicolas

[Anonyme]

"Nicolas Le Roux" a écrit

> 1) Est-ce que, pour tout entier p, il existe une infinité de nombres
> premiers congrus à 1 modulo p? Ou, de manière générale, pour tout entier
> p et tout entier a premier avec p, existe-t-il une infinité de nombres
> premiers congrus à a modulo p?

Oui, c'est le théorème de Dirichlet: si a et b sont premiers entre eux, il y
a une infinité de nombres premiers de la forme an+b, et leur densité dans
l'ensemble des nombres premiers est 1/phi(a), mais c'est pas facile. Google
devrait être ton ami.

> 2) Existe-t-il des fonctions continues convexes dérivables nulle part?

L'ensemble des points où une fonction convexe n'est pas dérivable est
dénombrable.
En effet (sur un intervalle ouvert) elle possède une dérivée à gauche et à
droite en tout point, et si x<y on a f'g(x)=<f'd(x)=<f'g(y)=<f'c(y). Ca se
voit par croissance de la fonction pente.
Si on a un point x où elle n'est pas dérivable, f'g(x)<f'd(x). On prend un
a(x) rationnel entre les deux... et ça fait une injection de l'ensemble des
points de non dérivabilité dans Q.

--
Maxi

[Anonyme]

Le Sun, 16 Nov 2003 23:25:51 +0100,
Maxi grava à la saucisse et au marteau:

> Oui, c'est le théorème de Dirichlet: si a et b sont premiers entre eux, il y
> a une infinité de nombres premiers de la forme an+b, et leur densité dans
> l'ensemble des nombres premiers est 1/phi(a), mais c'est pas facile. Google
> devrait être ton ami.

Ouéééé, un ami !

> L'ensemble des points où une fonction convexe n'est pas dérivable est
> dénombrable.
> En effet (sur un intervalle ouvert) elle possède une dérivée à gauche et à
> droite en tout point, et si x voit par croissance de la fonction pente.
> Si on a un point x où elle n'est pas dérivable, f'g(x) a(x) rationnel entre les deux... et ça fait une injection de l'ensemble des
> points de non dérivabilité dans Q.

Elle est jolie la démo.

Merci.

--
Nicolas

[Anonyme]

> > L'ensemble des points où une fonction convexe n'est pas dérivable est[color=green]
> > dénombrable.[/color]
[...]
> Elle est jolie la démo.

Dans le même genre, montrer qu'une fonction monotone sur un intervalle n'a
qu'un nombre dénombrable de points de discontinuité.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi wrote:[color=green][color=darkred]
>>> L'ensemble des points où une fonction convexe n'est pas dérivable est
>>> dénombrable.[/color][/color]

> Dans le même genre, montrer qu'une fonction monotone sur un intervalle n'a
> qu'un nombre dénombrable de points de discontinuité.

Si f est croissante sur [a,b], on appelle Dn={ x dans [a,b] tel que lim
f+(x) - lim f-(x) >1/n }
Tout point de discontinuité est dans un des Dn, et card(Dn)<=n*(
f(b)-f(a) ) (ou quelque chose comme ça )
Ainsi, l'ensemble des points de discontinuité est inclus dans un
ensemble dénombrable, il est donc dénombrable.
si f est décroissante, on passe à -f .
Si l'intervalle est quelconque, il est réunion dénombrable d'intervalles
fermés bornés.

[Anonyme]

Nicolas Le Roux wrote:

> 1) Est-ce que, pour tout entier p, il existe une infinité de nombres
> premiers congrus à 1 modulo p?

Si deux nombres sont congrus à 1 modulo p, leur produit l'est aussi...
En ayant deux nombres congrus à 1 modulo p, (p+1 et 2p+1 par exemple),
tu en construis une infinité.
La généralisation est le théorème de Dirichlet dont une preuve utilise
les fonctions elliptiques (d'après ce que j'avais lu dans maths en tête )

[Anonyme]

Maxi wrote:
> "Nicolas Le Roux" a écrit
[color=green]
>>2) Existe-t-il des fonctions continues convexes dérivables nulle part?
>
> L'ensemble des points où une fonction convexe n'est pas dérivable est
> dénombrable.
> En effet (sur un intervalle ouvert) elle possède une dérivée à gauche et à
> droite en tout point, et si x voit par croissance de la fonction pente.
> Si on a un point x où elle n'est pas dérivable, f'g(x) a(x) rationnel entre les deux... et ça fait une injection de l'ensemble des
> points de non dérivabilité dans Q.[/color]

Il n'y a pas d'axiome du choix dans ta preuve là?

[Anonyme]

"Osiris" a écrit

> Il n'y a pas d'axiome du choix dans ta preuve là?

Je ne sais pas, je ne me suis jamais intéressé à ce genre de question.

--
Maxi

[Anonyme]

Osiris wrote:
> Nicolas Le Roux wrote:
>[color=green]
>> 1) Est-ce que, pour tout entier p, il existe une infinité de nombres
>> premiers congrus à 1 modulo p?
>
>
> Si deux nombres sont congrus à 1 modulo p, leur produit l'est aussi...[/color]
Bah oui, mais il n'est premier le produit. Si ?
--
Gabriel (ou alors je n'ai rien compris ?)

[Anonyme]

[Anonyme]

Gabriel Kerneis wrote:

> Osiris wrote:[color=green][color=darkred]
>>> 1) Est-ce que, pour tout entier p, il existe une infinité de nombres
>>> premiers congrus à 1 modulo p?
>>
>> Si deux nombres sont congrus à 1 modulo p, leur produit l'est aussi...[/color]
>
> Bah oui, mais il n'est premier le produit. Si ?[/color]

NON
ça m'apprendra à poster tard.

[Anonyme]

Osiris , dans le message (fr.education.entraide.maths:51059), a écrit :
> Il n'y a pas d'axiome du choix dans ta preuve là?

Je crois pas.

[Anonyme]

"Maxi" , dans le message (fr.education.entraide.maths:51056), a écrit :
> Dans le même genre, montrer qu'une fonction monotone sur un intervalle n'a
> qu'un nombre dénombrable de points de discontinuité.

Dans le meme genre, montrer que l'ensemble des points de non-derivabilite
d'une fonction a variations bornees est de mesure nulle.

--
Xavier, qui avais eu ca en kholle en spe, avec le lemme de soleil levant,
yo !

[Anonyme]

> Dans le meme genre, montrer que l'ensemble des points de non-derivabilite
> d'une fonction a variations bornees est de mesure nulle.
>
> --
> Xavier, qui avais eu ca en kholle en spe, avec le lemme de soleil levant,
> yo !

Curieusement, j'ai eu un truc approchant à l'oral de l'X en 3/2.
Toujours aussi curieusement, l'année d'après j'étais 5/2.

--
Maxi