Dérivée de Laplace

[Anonyme]

Re-bonjour à tous.

J'ai ceci :

x'' + 4 = cos(2*t) avec comme conditions : x(0) = 1 et x'(0) = 0.

L(x'') = s^2 * F(s) - s*x(0) - x'(0) (C'est la formule)

J'obtiens donc :

s^2 * F(s) - s + 4 * F(s) = s/(s^2+4)

F(s) * (s^2 + 4) = (s*(s^2+5))/(s^2+4)

F(s) = (s*(s^2+5))/((s^2+4)*(s^2+4))

Le problème que j'ai est comment trouvé la transformation inverse de F(s).

Merci de votre aide,

Phil

[Anonyme]

Phil wrote:

> Re-bonjour à tous.
>
> J'ai ceci :
>
> x'' + 4 = cos(2*t) avec comme conditions : x(0) = 1 et x'(0) = 0.
>
> L(x'') = s^2 * F(s) - s*x(0) - x'(0) (C'est la formule)
>
> J'obtiens donc :
>
> s^2 * F(s) - s + 4 * F(s) = s/(s^2+4)
>
> F(s) * (s^2 + 4) = (s*(s^2+5))/(s^2+4)
>
> F(s) = (s*(s^2+5))/((s^2+4)*(s^2+4))
>
> Le problème que j'ai est comment trouvé la transformation inverse de F(s).
>
> Merci de votre aide,
>
> Phil

faire une decomposition en elements simples
(apres avoir verifie que le degre du numerateur < degres denominateur
ce qui est le cas.
en utilisant les nombres complexes c'est plus facile

A* = conjugue de A
B* = conjugue de B

F(s) = A/(s-2i)) + A*/(s+2i) + B/(s-2i)^2 + B*/(s+2i)^2

on calcule A, et B....

la transformee inverse de :
1/(s-a) = exp(at) H(t)
1/(s-a)^2 = t exp(at) H(t)

H(t) fct de Heaviside pour bien preciser
qu'il s'agit d'un signal causal nul en t = 0

f(t) = [ A exp(2it) + A* exp(-2it) + B t exp(2it) + B* t exp(-2it) ] H(t)

le tout s'arrange en (a+bt) sin(2t) + (c+dt) cos(2t)
a, b, c, d = fct (A, A*, B, B*)

sinon avec des formulaires sur les transformees inverses
on peut faire une decomposition en elements simples
de premiere et deuxieme espece a coefficients reels

F(s) = (As+B)/(s^2+4) + (Cs+D)/(s^2+4)^2

et utiliser les formulaires pour inverser :

1/(s^2+4)
s/(s^2+4)
1/(s^2+4)^2
s/(s^2+4)^2

mais plus difficile a memoriser