Dérivabilité en 0 de |x|^x

[Anonyme]

Soit f: x -> |x|^x soit : exp(x ln(|x|)) si x ‚ 0 et 1 si x = 0

Je dois étudier la continuité et la dérivabilité en 0 de cette fonction.

J'ai montré que la fonction était continue car les limites à gauche et à
droite en 0 sont égales à f(0).

J'ai tenté de calculer la limite en 0 du taux d'accroissement de la fonction,
mais je ne trouve pas de limite finie. Je devrais à priori conclure à la non
dérivabilité...

Pourtant, à l'observer à la calculette, j'ai l'impression qu'elle est bien
dérivable en 0 (mais est-ce vraiment possible de faire une telle observation
à la calculette ??). Par ailleurs, en tentant de vérifier mon calcul de
limite du taux d'accroissement, celui-ci semble tendre vers -inf en
approchant de zero, mais revient vers une valeur nulle :

g étant la fonction taux d'accroissement, je relève ces valeurs :

g(1.E-12)=-27,63
g(1.E-14)=-32
g(1.E-15)=-30
g(1.E-16)=0

Je n'ai donc plus confiance en mon calcul de la limite du taux
d'accroissement...

Merci pour vos éclaircissements !

[Anonyme]

"Agl84" a écrit dans le message de news:
0001HW.BBC8E4CF00382903F0386600@news.nerim.fr...
> Soit f: x -> |x|^x soit : exp(x ln(|x|)) si x , 0 et 1 si x = 0
>
> Je dois étudier la continuité et la dérivabilité en 0 de cette fonction.
>

Bon pour la continuité c'est ok.
Pour la dérivabilité, un DL montre que la limite est bien -oo

[Anonyme]

Salut Agl84,

> Soit f: x -> |x|^x soit : exp(x ln(|x|)) si x ? 0 et 1 si x = 0
> J'ai tenté de calculer la limite en 0 du taux d'accroissement de la
> fonction, mais je ne trouve pas de limite finie. Je devrais à priori
> conclure à la non dérivabilité...

Et même a postériori.

> Pourtant, à l'observer à la calculette, j'ai l'impression qu'elle est bien
> dérivable en 0 (mais est-ce vraiment possible de faire une telle observation
> à la calculette ??).

Oui, c'est possible, si tu as moyen de zoomer sur ta courbe au point
d'abscisse zéro, mais c'est vrai que l'appréciation personnelle joue
beaucoup. Pour moi, l'axe des ordonnées a bien l'air d'être tangent à
la courbe. Donc la fonction ne doit pas être dérivable...

> Par ailleurs, en tentant de vérifier mon calcul de
> limite du taux d'accroissement, celui-ci semble tendre vers -inf en
> approchant de zero, mais revient vers une valeur nulle :
> g étant la fonction taux d'accroissement,

on est d'accord que g(h) = (|h|^h-1)/h -> -inf en 0

>je relève ces valeurs :
> g(1.E-12)=-27,63
> g(1.E-14)=-32
> g(1.E-15)=-30
> g(1.E-16)=0
> Je n'ai donc plus confiance en mon calcul de la limite du taux
> d'accroissement...

Mauvais bout de la raison. Tu devrais cesser de faire confiance à ta
calculatrice!! Le problème c'est que pour h très proche de zéro, elle
n'est plus capable de faire la différence entre |h|^h et 1 et fait
l'arrondi ; donc après la quantité qu'elle divise par h, c'est 0. Le
problème c'est que cet arrondi est "fatalement abusif". |h|^h-1 est
petit, tout petit, très proche de zéro, mais il a beau être petit, il
reste bien moins petit que h (|h|^h-1 tend vers 0 infiniment moins
vite que h), donc après en divisant, on devrait obtenir quelque chose
de plus en plus grand en valeur absolue.

Je voulais majorer brutalement g(10^-16) à la main pour te convaincre
mais... j'y arrive pas ^_^. Sauf en utilisant la convexité que la
fonction
x -> 10^x mais je suppose que tu n'as pas vu la notion de convexité ?


> Merci pour vos éclaircissements !

J'espère avoir été clair...


Pierre.

[Anonyme]

On Sat, 1 Nov 2003 11:39:37 +0100, Pierre Abbrugiati wrote
(in message ):

>[color=green]
>> Merci pour vos éclaircissements !
>
> J'espère avoir été clair...[/color]

Merci pour votre aide ! Heureusement, la calculatrice nous est interdite en
DS...