Derivabilité de sin(x)/x en 0

[Anonyme]

bonjour,

comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?

merci

[Anonyme]

On Thu, 8 Jan 2004 16:35:29 +0100, "jako"
wrote:

>bonjour,
>
>comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
sin(x)/x étant prolongée en 0 par continuité
>faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?
un dl montre tout de suite que
(sinx/x-1)/x tend vers 0 si x tend vers 0
>merci
>
>

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

*****************

[Anonyme]

Ca dépend de ce que tu sais le mieux faire...
La dérivée de sinx/x faite par dérivée(u/v) =
(dérivée(u)*v-u*dérivée(v))/(v*v) te donne la fonction dérivée.
Tu peux (par équivalence ou par développement) montrer que cette
fonction qui n'est pas définie pour x=0 a une limite pour x->0.

jako a écrit:
> bonjour,
>
> comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
> faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?
>
> merci
>
>

[Anonyme]

Si on pose f(x)=sin(x)/x et f(0)=1
on doit montrer que (f(x)-1)/x a une limite. Cela revient à montrer que
(sin(x)-x)/x^2 a une limite, faire un Dl.
Sinon:
Avec un développement en série entière c'est même de classe Cinfinie.
On peut aussi écrire que sin(x)/x=int(cos(t*x),t=0..1)
en tant qu'intégrale dépendant d'un paramètre sur un segment, elle devient
de classe Cinfini.


--
Géry Huvent
http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent
"jako" a écrit dans le message de news:
3ffd778f$0$6974$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> bonjour,
>
> comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
> faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?
>
> merci
>
>

[Anonyme]

"jako" a écrit dans le message de news:
3ffd778f$0$6974$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> bonjour,
>
> comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
> faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?
>
> merci
>
>
Les équivalents ne peuvent pas convenir pour ça, parce qu'une dérivée c'est
la limite d'une différence, et il ne faut SURTOUT pas soustraire les
équivalents
Le plus simple si on ne dispose pas de résultats élaborés (séries entières,
intégrale dépendant d'un paramètre), c'est de faire un DL :
sin(x)=x+o(x^2), donc sin(x)/x=1+o(x)=1+0.x+o(x), ce qui signifie que
sin(x)/x (prolongée par 1 en 0) est dérivable en 0 et que sa dérivée est 0
(car dérivabilité existence d'un DL d'ordre 1)
En revanche, le DL ne permet pas de montrer que la fonction est 2 fois
dérivable en 0 : pour cela il faut calculer la dérivée de sin(x)/x en x0
par les formules usuelles, et trouver la limite de la dérivée en 0 (par un
DL)

[Anonyme]

FDH a écrit:
> "jako" a écrit dans le message de news:
> 3ffd778f$0$6974$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> [color=green]
>>bonjour,
>>
>>comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
>>faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?
>>
>>merci
>>
>>
>
> Les équivalents ne peuvent pas convenir pour ça, parce qu'une dérivée c'est
> la limite d'une différence, et il ne faut SURTOUT pas soustraire les
> équivalents
> Le plus simple si on ne dispose pas de résultats élaborés (séries entières,
> intégrale dépendant d'un paramètre), c'est de faire un DL :
> sin(x)=x+o(x^2), donc sin(x)/x=1+o(x)=1+0.x+o(x), ce qui signifieque
> sin(x)/x (prolongée par 1 en 0) est dérivable en 0 et que sa dérivée est 0
> (car dérivabilité existence d'un DL d'ordre 1)
> En revanche, le DL ne permet pas de montrer que la fonction est 2 fois
> dérivable en 0 : pour cela il faut calculer la dérivée de sin(x)/x en x0
> par les formules usuelles, et trouver la limite de la dérivée en 0 (par un
> DL)
>
> [/color]

Je sursaute en lisant l'exergue sur la soustraction d'équivalent... Tu
peux m'expliquer ?
PAUL

[Anonyme]

"Paul Delannoy" a écrit dans le message de news:
3FFE5595.7030702@univ-lemans.fr...
FDH a écrit:
> "jako" a écrit dans le message de news:
> 3ffd778f$0$6974$7a628cd7@news.club-internet.fr...
>[color=green]
>>bonjour,
>>
>>comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
>>faut-il utiliser un developpement limité ou des equivalences ?
>>
>>merci
>>
>>
>
> Les équivalents ne peuvent pas convenir pour ça, parce qu'une dérivée[/color]
c'est
> la limite d'une différence, et il ne faut SURTOUT pas soustraire les
> équivalents
> Le plus simple si on ne dispose pas de résultats élaborés (séries
entières,
> intégrale dépendant d'un paramètre), c'est de faire un DL :
> sin(x)=x+o(x^2), donc sin(x)/x=1+o(x)=1+0.x+o(x), ce qui signifie que
> sin(x)/x (prolongée par 1 en 0) est dérivable en 0 et que sa dérivée est 0
> (car dérivabilité existence d'un DL d'ordre 1)
> En revanche, le DL ne permet pas de montrer que la fonction est 2 fois
> dérivable en 0 : pour cela il faut calculer la dérivée de sin(x)/x en x0
> par les formules usuelles, et trouver la limite de la dérivée en 0 (par un
> DL)
>
>

Je sursaute en lisant l'exergue sur la soustraction d'équivalent... Tu
peux m'expliquer ?
PAUL

Bien sûr : il ne faut SURTOUT pas soustraire d'équivalents (ni additionner)
(et c'est pourquoi un DL est beaucoup plus utils qu'un équivalent)
Exemple : en 0, sin x~x mais on n'a évidemment pas sin(x)-x~0

Pour moi les équivalents servent à 2 choses uniquement :
- pour trouver la limite d'un quotient (ou d'un produit) : exemple : limite
de sin(x)/ln(1+x) en 0
- simplifier une fonction dans un petit o quand on fait un changement de
variables : ex : sin(x)~x, donc o(sin(x)^3)=o(x^3)

[Anonyme]

Cela me paraît être la meilleure méthode.

Il y a aussi le théorème sur le "prolongement continu de la
dérivée" qui s'applique bien :

Si une fonction f est continue sur [a, b] (ou prolongeable
par continuité en tout point de [a, b]), dérivable sur ]a, b]
et si sa dérivée f ' admet une limite L (finie) en a (c'est à
dire est continue en a ou prolongeable par continuité en a)
alors elle est dérivable en a et f '(a) = L.

Ici f est continue sur [0, 1], dérivable sur ]0, 1] et sa dérivée
tend vers 0 en 0. Donc f'(0) = 0

Pierre

PS
Il existe une règle pour additionner des équivalents. Il faut d'abord que
les termes de plus bas degrés soient de même degré sinon cela n'a pas
d'intérêt.
Si ces termes de plus bas degré ne s'annulent pas alors la somme des
équivalents est bien l'équivalent de la somme. Si ces termes s'annulent, on
peut seulement dire que la somme est négligeable devant chacune des
fonctions.

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
btov30$9q3s5$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Cela me paraît être la meilleure méthode.
>
> Il y a aussi le théorème sur le "prolongement continu de la
> dérivée" qui s'applique bien :
>
> Si une fonction f est continue sur [a, b] (ou prolongeable
> par continuité en tout point de [a, b]), dérivable sur ]a, b]
> et si sa dérivée f ' admet une limite L (finie) en a (c'est à
> dire est continue en a ou prolongeable par continuité en a)
> alors elle est dérivable en a et f '(a) = L.
>
> Ici f est continue sur [0, 1], dérivable sur ]0, 1] et sa dérivée
> tend vers 0 en 0. Donc f'(0) = 0
Pour montrer que f est dérivable en 0, un DL de f à l'ordre 1 suffit


>
> Pierre
>
> PS
> Il existe une règle pour additionner des équivalents. Il faut d'abord que
> les termes de plus bas degrés soient de même degré sinon cela n'a pas
> d'intérêt.
> Si ces termes de plus bas degré ne s'annulent pas alors la somme des
> équivalents est bien l'équivalent de la somme. Si ces termes s'annulent,
on
> peut seulement dire que la somme est négligeable devant chacune des
> fonctions.
>
Oui, c'est vrai, c'est la seule règle d'addition d'équivalents. Mais elle ne
permet pas de savoir ce qui se "cache" derrière le terme dominant.

[Anonyme]

> comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?

Au fait, comment ça s'intègre, cette saleté ??

[Anonyme]

"Oodini" a écrit dans le message de news:
4000772a$0$24049$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > comment montre-on que sin(x)/x est dérivable en 0 ?
>
> Au fait, comment ça s'intègre, cette saleté ??
>
>[/color]
On ne peut pas donner une expression de ses primitives à l'aide des
fonctions usuelles
Tout ce qu'on connaît c'est son intégrale sur [0,+inf[, qui vaut pi/2

[Anonyme]

> > Au fait, comment ça s'intègre, cette saleté ??[color=green]
> >
> On ne peut pas donner une expression de ses primitives à l'aide des
> fonctions usuelles
> Tout ce qu'on connaît c'est son intégrale sur [0,+inf[, qui vaut pi/2[/color]

En fait, si d'autres personnes sont intéressées, l'intégrale de sinc(ax)
sur ]-inf,+inf[ est pi/a.
Je le sais depuis 3 minutes.
Mais ta réponse est néanmoins fort utile, parce que j'allais me lancer dans
le calcul pour ma culture générale...

[Anonyme]

La question me pose un probl+AOg-me : quelle est la d+AOk-finition de la
fonction sin(x) pour "jako".

Si on parle de la partie imaginaire de la fonction exp(i*x), la
d+AOk-monstration est tr+AOg-s simple : on utilise un d+AOk-veloppement en s+AOk-rie
enti+AOg-re (DSE) de exp(x) pour obtenir le DLs+AOk-rie enti+AOg-re de sin(x) et
zou on obtient le r+AOk-sultat (limite=1).
Reste +AOA- d+AOk-finir la fonction exp(ix), et surtout +AOA- d+AOk-montrer ses
prori+AOk-t+AOk-s (p+AOk-riodique...)

On peut aussi d+AOk-finir sin(x) directement par son DSE, le r+AOk-sultat
+AOk-tant imm+AOk-diat, mais la d+AOk-monstration de la p+AOk-riodicit+AOk- +AOk-tant moins
facile.

Si on se place au niveau du lyc+AOk-e, c'est plus d+AOk-licat :
La fonction sinus est d+AOk-finie +AOA- partir du cercle trigo.

Dans ce cas deux petits dessins permettent en utilisant des
comparaisons d'aires de d+AOk-montrer que
x*cos(x)
wrote:

>bonjour,
>
>comment montre-on que sin(x)/x est d+AOk-rivable en 0 ?
>faut-il utiliser un developpement limit+AOk- ou des equivalences ?
>
>merci
>