Définition de R

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai le souvenir que certains théorèmes qui caractérisent
d'une certaine façon R sont fortement liés (équivalents ?),
du style complétude, bolzano-weierstrass, borne sup etc...
Bref, je crois qu'en sup, on était parti de la propriété
de la borne sup, et qu'on avait montré le reste.

Dans le cas ou on prend cette propriété comme axiome,
quelle est la définition axiomatique compléte ?
R est un corps ordonné verifiant la propriété de la borne sup ?
Il y a-t-il d'autre définition équivalentes classiques qui utilisent
les autres propriétés comme la complétude, bolzano etc... ?

Merci d'avance,
LGS

[Anonyme]

Le Grand Schtroumpf wrote:
> Bonjour,
>
> J'ai le souvenir que certains théorèmes qui caractérisent
> d'une certaine façon R sont fortement liés (équivalents ?),
> du style complétude, bolzano-weierstrass, borne sup etc...
> Bref, je crois qu'en sup, on était parti de la propriété
> de la borne sup, et qu'on avait montré le reste.
>
> Dans le cas ou on prend cette propriété comme axiome,
> quelle est la définition axiomatique compléte ?
> R est un corps ordonné verifiant la propriété de la borne sup ?
> Il y a-t-il d'autre définition équivalentes classiques qui utilisent
> les autres propriétés comme la complétude, bolzano etc... ?

Eh bien j'ai commencé un fil sur fsm à ce sujet ("Nombres réels"). En
fait tu prends un corps commutatif archimédien. Les propriétés de
complétude, de borne sup, meme de segments emboités je pense, sont
équivalentes, et ces propriétés caractérisent R. Autrement dit, il n'y a à
un isomorphisme près, qu'un seul corps commutatif archimédien
complet/vérifiant la propriété de la borne sup, et c'est R.