Correction urgente matrices et projections

[Anonyme]

Bonsoir,

J'aurais besoin de la correction de 3 exos parce que notre prof nous fait un
DS jeudi mais il ne trouve pas ça nécéssaire de corriger les exos et
certains je n'arrive pas à les faire.

Soit f l'application linéaire de R^3 dont la matrice relativement à la base
canonique est
M= 1/7 ( -2 6 -3
6 3 2
-3 2 6 )

1)Calculer M^2
Ca c'est bon je trouve ( 1 0 0
0 1 0
0 0 1 )
Et ensuite c'est un carnage

2)Déterminer P= { u appartient R^3 , f(u) = u } montrer que P est un plan :
un espace vectoriel de dim 2, donner son équation
3)Déterminer D= { u appartient R^3 , f(u) = - u } vérifier que D est une
droite vectorielle dont on donner un vecteur directeur
4)Montrer que R^3 = P somme directe D, caractériser l'application f
5)Quelle est la matrice dans la base canonique de la projection p de R^3 sur
P parallèlement à D
6)Soit u = ( 1,1,-1), v = ( 0,1,2), w= ( 3,-2,1); montrer que ces 3 vecteurs
forment une base de R^3; écrire les matrices de f et p dans cette base.


Trouver deux matrices carrées A et B d'ordre 2 qui vérifient A différent de
0, B différent de 0 et A.B = 0. ( 0 désigne la matrice nulle ( 0 0

0 0 )
Là aussi je suis bloquée

On considère la matrice suivante
M = ( 0 1 1
1 0 1
1 1 0 )

1)Calculer M^3 - 3 M
Je trouve ( 2 0 0
0 2 0
0 0 2 )
2)En déduire que M est inversible et calculer son inverse
J'ai montré que dim Kerf = 0 et que dim f = 0 donc elle est inversible (
peut être que si j'avais mis directement que le rang était de 3 comme 3
vecteurs indépendants ça aurait suffit je sais pas )
Je trouve M -1 = ( - 0,5 0,5 0,5
0,5 - 0,5 0,5
0,5 0,5 - 0,5 )
3)Soit P = { ( x,y,z) appartient à R^3 / x +y+z = 0 } déterminer f(P)
Exprimer simplement la restriction de f sur P
Là aussi je ne sais pas comment faire

Un grand merci si quelqu'un peut m'aider sinon je suis dans la m....
B.

[Anonyme]

B. a écrit:
> Bonsoir,
>
> J'aurais besoin de la correction de 3 exos parce que notre prof nous fait un
> DS jeudi mais il ne trouve pas ça nécéssaire de corriger les exos et
> certains je n'arrive pas à les faire.
>
> Soit f l'application linéaire de R^3 dont la matrice relativement à la base
> canonique est
> M= 1/7 ( -2 6 -3
> 6 3 2
> -3 2 6 )
>
> 1)Calculer M^2
> Ca c'est bon je trouve ( 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 1 )
> Et ensuite c'est un carnage
>
> 2)Déterminer P= { u appartient R^3 , f(u) = u } montrer que P est un plan :
> un espace vectoriel de dim 2, donner son équation
Ecrit Mu=u sous forme de 3 équations : u=(x,y,z) donc Mu=(-2x+6y-3z,
6x+3y+2z, -3x+2y+6z) et cela te méne à un système dont tu peux éliminer
une inconnue (par exemple x) : tu as une condition sur les 2 autres qui
est la définition du plan P. Tu peux en exhiber une base .

> 3)Déterminer D= { u appartient R^3 , f(u) = - u } vérifier que D est une
> droite vectorielle dont on donner un vecteur directeur
La même méthode, mais cette fois tu peux pas éliminer une composante :
la relation obtenue définit une droite D. Tu en exhibe le vecteur directeur.

> 4)Montrer que R^3 = P somme directe D, caractériser l'application f

Regardes les vecteurs obtenus plus haut (base de P, directeur de D)..
ne resseblent ils pas à ceux du 6 ?

> 5)Quelle est la matrice dans la base canonique de la projection p de R^3 sur
> P parallèlement à D
> 6)Soit u = ( 1,1,-1), v = ( 0,1,2), w= ( 3,-2,1); montrer que ces 3 vecteurs
> forment une base de R^3; écrire les matrices de f et p dans cette base.
>
>
> Trouver deux matrices carrées A et B d'ordre 2 qui vérifient A différent de
> 0, B différent de 0 et A.B = 0. ( 0 désigne la matrice nulle ( 0 0
>
> 0 0 )
> Là aussi je suis bloquée
>
> On considère la matrice suivante
> M = ( 0 1 1
> 1 0 1
> 1 1 0 )
>
> 1)Calculer M^3 - 3 M
> Je trouve ( 2 0 0
> 0 2 0
> 0 0 2 )
> 2)En déduire que M est inversible et calculer son inverse
> J'ai montré que dim Kerf = 0 et que dim f = 0 donc elle est inversible (
> peut être que si j'avais mis directement que le rang était de 3 comme 3
> vecteurs indépendants ça aurait suffit je sais pas )
> Je trouve M -1 = ( - 0,5 0,5 0,5
> 0,5 - 0,5 0,5
> 0,5 0,5 - 0,5 )
> 3)Soit P = { ( x,y,z) appartient à R^3 / x +y+z = 0 } déterminer f(P)
> Exprimer simplement la restriction de f sur P
> Là aussi je ne sais pas comment faire
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> Un grand merci si quelqu'un peut m'aider sinon je suis dans la m....
> B.
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