Corde vibrante / différentielles

[Anonyme]

Désolé d'une nouvelle fois vous importuner avec mes questions, mais je suis
toujours sur le même bouquin, que je ne conseillerais pas même à mon pire
ennemi.

Pour permettre une meilleur lisibilité, les équations évoquées ci-dessous
figurent sur:
http://webperso.easyconnect.fr/zbuffer/corde.ps
Note: elles figurent en bas du fichier PostScript (MathType les place ici,
dieu sait pour quelle raison)

Notons @ le "d rond" (dérivée partielle).

Le problème de la corde vibrante ("équation des ondes en dimension 1") selon
d'Alambert se modélise ainsi:

(@²u/@t²) - c² * (@²u/@x²) = f(x,t)

où u(x,t) représente le déplacement de la corde sous l'effet de la tension,
à la position x et à l'instant t, c la vitesse d'onde, et f(x,t) la "force
transversale linéique".

Prenons l'équation homogène, et multiplions la @u/@t :

@u/@t² * [ (@²u/@t²) - c² * (@²u/@x²) ] = 0

On passe le u à l'intérieur:

@/@t² * [ (@²u²/@t²) - c² * (@²u²/@x²) ] = 0

ce qui donne:

@/@t * [ (@u/@t)² - c² * (@u/@x)² ] = 0

Après intégration de 0 à L(suivie d'une intégration par partie, d'après le
bouquin), j'aimerais savoir comment arriver à:

@/@t * [ (1/2) * int( (@u/@t)²,t=0..L) + (c²/2) * int( (@u/@x)²,x=0..L) = 0

Notez de plus le changement de signe au milieu de l'expression.
Je me demande également comment t peut prendre la valeur de 0 à L...

Merci beaucoup pour votre aide !

[Anonyme]

> http://webperso.easyconnect.fr/zbuffer/corde.ps

http://webperso.easyconnect.fr/zbuffer/corde.eps
pardon...