Convexité

[Anonyme]

bonjour j'aimerais bien que vous m'aidiez a resoudre ces questions

soit a >ou= 0
soit C = {(u,v) appartenant à R², u² + v² -uv = a}
1) donner la nature de la conique C ?
2) montrer que
A ={(u,v) appartenant à R², u² + v² -uv <ou= a}
est convexe

1) je pense qu'il s'agit d'une ellipse
est ce bien cela?

2) la je pense qu'il s'agit d'utiliser les proprietés d'une ellipse mais je
sais pas comment
pourriez vous m'aider a resoudre cette question de facon detaillée ???

merci

[Anonyme]

>soit a >ou= 0
>soit C = {(u,v) appartenant à R², u² + v² -uv = a}

> 1) donner la nature de la conique C ?

> 1) je pense qu'il s'agit d'une ellipse
> est ce bien cela?

Oui : tu fais une rotation de pi/4 (u=1/sqrt(2)(x-y), y=1/sqrt(2)(x+y)), et
dans le nouveau repère
(3/2)x^2+(1/2)y^2=a : ellipse de centre 0 et de demi-grands axes de
longueurs sqrt(2a) et sqrt(2a/3)...

Le cas a=0 est un cas dégénéré que tu peux traiter à part (c'est ultra
simple).

> 2) montrer que
> A ={(u,v) appartenant à R², u² + v² -uv est convexe

> 2) la je pense qu'il s'agit d'utiliser les proprietés d'une ellipse mais
je
> sais pas comment
> pourriez vous m'aider a resoudre cette question de facon detaillée ???

Là, ça dépend de ce que tu connais sur les ellipses... Tiens par exemple,
une ellipse est l'image d'un cercle par une application linéaire : ça
devrait suffire.

Mais tu pourrais aussi traiter l'exo dans l'autre sens : montrer que
l'ensemble du 2 est convexe (calcul direct) et borné (astuce), et en déduire
(sachant que c'est une conique) que son bord (l'ensemble du 1) est une
ellipse.

--
Jérémie Rocher
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