Condition suffisante Différentiabilité

[Anonyme]

Bonjour,

On a f C^1 => f différentiable

Or en dimension finie, f est C^1 ssi ses dérivées partielles sont définies
continues. En dimension finie, si f est différentiable, puisque la
différentielles est continue (par définition), les dérivées partielles le
sont, donc f est C^1

Donc en dimension finie:
f C^1 f différentiable

Je me trompe?

[Anonyme]

> Or en dimension finie, f est C^1 ssi ses dérivées partielles sont définies
> continues. En dimension finie, si f est différentiable, puisque la
> différentielles est continue (par définition), les dérivées partielles le
> sont, donc f est C^1

Je ne vois pas pourquoi la différentielle serait continue...

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de
news:4235eb16$0$11700$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Or en dimension finie, f est C^1 ssi ses dérivées partielles sont[/color]
définies[color=green]
> > continues. En dimension finie, si f est différentiable, puisque la
> > différentielles est continue (par définition), les dérivées partielles[/color]
le[color=green]
> > sont, donc f est C^1
>
> Je ne vois pas pourquoi la différentielle serait continue...[/color]

Dzns mon cours il y a écrit f est différentiable en a si il existe une
application linéaire continue L telle que f(a+h)-f(a)=L(h)+o(||h||) quand h
tend vers 0.

L est prise continue par défaut

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de
news:4235eb16$0$11700$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Or en dimension finie, f est C^1 ssi ses dérivées partielles sont[/color]
définies[color=green]
> > continues. En dimension finie, si f est différentiable, puisque la
> > différentielles est continue (par définition), les dérivées partielles[/color]
le[color=green]
> > sont, donc f est C^1
>
> Je ne vois pas pourquoi la différentielle serait continue...[/color]

Et puis en dimension finie une application linéaire est toujours continue

[Anonyme]

>> > Or en dimension finie, f est C^1 ssi ses dérivées partielles sont
> définies[color=green][color=darkred]
>> > continues. En dimension finie, si f est différentiable, puisque la
>> > différentielles est continue (par définition), les dérivées partielles[/color]
> le[color=darkred]
>> > sont, donc f est C^1
>>
>> Je ne vois pas pourquoi la différentielle serait continue...[/color]
>
> Et puis en dimension finie une application linéaire est toujours continue[/color]

Tu confonds la différentielle et la differentielle en un point!
La différentielle de la fonction, c'est l'application qui à tout point de
l'ouvert de définition associe l'application linéaire tangente.

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de
news:4235f1c2$0$11718$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
> >> > Or en dimension finie, f est C^1 ssi ses dérivées partielles sont
> > définies
> >> > continues. En dimension finie, si f est différentiable, puisque la
> >> > différentielles est continue (par définition), les dérivées[/color][/color]
partielles[color=green]
> > le[color=darkred]
> >> > sont, donc f est C^1
> >>
> >> Je ne vois pas pourquoi la différentielle serait continue...
> >
> > Et puis en dimension finie une application linéaire est toujours[/color][/color]
continue
>
> Tu confonds la différentielle et la differentielle en un point!
> La différentielle de la fonction, c'est l'application qui à tout point de
> l'ouvert de définition associe l'application linéaire tangente.

Ok merci, j'ai compris ma boulette. Donc on en reste a

f C^1 => f différentiable
La différentielle de f est continue => f C^1

ok?

[Anonyme]

> Ok merci, j'ai compris ma boulette. Donc on en reste a
>
> f C^1 => f différentiable
> La différentielle de f est continue => f C^1

Là tu n'as pas dit grand chose en fait: par définition C^1 veut dire
différentiable à différentielle continue.
Ce qui est fort, c'est que si f admet des dérivées partielles continues
relativement à une base, elle est C^1.

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de
news:4235f364$0$25049$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Ok merci, j'ai compris ma boulette. Donc on en reste a
> >
> > f C^1 => f différentiable
> > La différentielle de f est continue => f C^1
>
> Là tu n'as pas dit grand chose en fait: par définition C^1 veut dire
> différentiable à différentielle continue.[/color]

Je suis d'accord, mais c'est quand même bien pratique pour montrer la
différentiabilité

> Ce qui est fort, c'est que si f admet des dérivées partielles continues
> relativement à une base, elle est C^1.
>
> --
> Mû
>
>