Concours Esim 2001 MP

[Anonyme]

J'ai besoin d'aide sur le problème suivant :

Soit n un entier,
E = IR^n[X]
On définit pour tout i entre 1 et n le polynome suivant :
Pi(X) = ((1-X)^i)((1+X)^(n-i))
On définit alors A = (aij) dans Mn+_1(IK) tel que aij est le coefficient de
X^i-1 dans Pj-_1

Pour tout n, j'ai montrée que la famille des (Pi) était une base de E

La question est la suivante :
Calculer pour tout j dans [|1,n+1|],
sum(aij*Pi-_1,i=1..n+1)

Si vous trouvez, merci de donner quelques indications de recherche,
J'ajoute que j'ai conjecturé que cette somme était égale pour tout j à
det(A)*(-X)^j mais ce n'est pas sur. Merci de votre aide

[Anonyme]

"Kang Karino" a écrit dans le message de news:
4151d6a2$0$286$626a14ce@news.free.fr...
> J'ai besoin d'aide sur le problème suivant :
>
> Soit n un entier,
> E = IR^n[X]
> On définit pour tout i entre 1 et n le polynome suivant :
> Pi(X) = ((1-X)^i)((1+X)^(n-i))
> On définit alors A = (aij) dans Mn+_1(IK) tel que aij est le coefficient
de
> X^i-1 dans Pj-_1
>
> Pour tout n, j'ai montrée que la famille des (Pi) était une base de E
>
> La question est la suivante :
> Calculer pour tout j dans [|1,n+1|],
> sum(aij*Pi-_1,i=1..n+1)
>
> Si vous trouvez, merci de donner quelques indications de recherche,
> J'ajoute que j'ai conjecturé que cette somme était égale pour tout j à
> det(A)*(-X)^j mais ce n'est pas sur.

Quand on regarde les cas n=1 et n=2, on obtient 2^n*X^j
Je n'ai pas le temps de voir plus mais il semble que la formule sum(k=0 à n,
C(n,k)(1-X)^k(1+X)^(n-k)=2^n intervient régulièrement


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[Anonyme]

Merci, en réalité, la formule c'est 2^n *X^(j-1)
Qq1 m'a aidé, mais c'étais pas évident...


----- Original Message -----
From: "Masterbech"
Newsgroups: fr.education.entraide.maths
Sent: Friday, September 24, 2004 7:54 PM
Subject: Re: Concours Esim 2001 MP


>
> "Kang Karino" a écrit dans le message de news:
> 4151d6a2$0$286$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > J'ai besoin d'aide sur le problème suivant :
> >
> > Soit n un entier,
> > E = IR^n[X]
> > On définit pour tout i entre 1 et n le polynome suivant :
> > Pi(X) = ((1-X)^i)((1+X)^(n-i))
> > On définit alors A = (aij) dans Mn+_1(IK) tel que aij est le coefficient
> de
> > X^i-1 dans Pj-_1
> >
> > Pour tout n, j'ai montrée que la famille des (Pi) était une base de E
> >
> > La question est la suivante :
> > Calculer pour tout j dans [|1,n+1|],
> > sum(aij*Pi-_1,i=1..n+1)
> >
> > Si vous trouvez, merci de donner quelques indications de recherche,
> > J'ajoute que j'ai conjecturé que cette somme était égale pour tout j à
> > det(A)*(-X)^j mais ce n'est pas sur.
>
> Quand on regarde les cas n=1 et n=2, on obtient 2^n*X^j
> Je n'ai pas le temps de voir plus mais il semble que la formule sum(k=0 à[/color]
n,
> C(n,k)(1-X)^k(1+X)^(n-k)=2^n intervient régulièrement
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