[Pcsi]Complexe-trigonométrie-casse tete

[Anonyme]

Bonjour
Ca fait 4 bonnes heures que je me prends la tete sur l'exo suivant :
soit M et N d'affixe respective m et n deux points du Cercle trigo, montre
que la droite (MN) est l'ensemble des points P(z) tels que z+mn(z
conjugué)=m+n

merci

[Anonyme]

"dufduf" avait énoncé :
> Bonjour
> Ca fait 4 bonnes heures que je me prends la tete sur l'exo suivant :
> soit M et N d'affixe respective m et n deux points du Cercle trigo, montre
> que la droite (MN) est l'ensemble des points P(z) tels que z+mn(z
> conjugué)=m+n
>
> merci

P appartient à (MN) ssi il existe un réel k tel que vect(MP) = k
vect(MN).
Cela équivaut à z - m = k(n - m)
On a alors :
conj(z) = conj(m) + k [conj(n) - conj(m)] car conj(k) = k réel.
puis
m n conj(z) = n m conj(m) + k [ m n conj(n) - n m conj(m)]

Sachant que M et N sont sur le cercle trigonométrique,
on a |m| = |n| = 1, càd m*conj(m) = n*conj(n) = 1, donc
m n conj(z) = n + k (m - n)

D'où l'égalité demandée
z + m n conj(z) = m + n


--
Myra

[Anonyme]

"Myra" a écrit dans le message news:
mesnews.ac207d39.643e5984.172.1148@noos.fr...
> "dufduf" avait énoncé :[color=green]
> > Bonjour
> > Ca fait 4 bonnes heures que je me prends la tete sur l'exo suivant :
> > soit M et N d'affixe respective m et n deux points du Cercle trigo,[/color]
montre[color=green]
> > que la droite (MN) est l'ensemble des points P(z) tels que z+mn(z
> > conjugué)=m+n
> >
> > merci
>
> P appartient à (MN) ssi il existe un réel k tel que vect(MP) = k
> vect(MN).
> Cela équivaut à z - m = k(n - m)
> On a alors :
> conj(z) = conj(m) + k [conj(n) - conj(m)] car conj(k) = k réel.
> puis
> m n conj(z) = n m conj(m) + k [ m n conj(n) - n m conj(m)]
>
> Sachant que M et N sont sur le cercle trigonométrique,
> on a |m| = |n| = 1, càd m*conj(m) = n*conj(n) = 1, donc
> m n conj(z) = n + k (m - n)
>
> D'où l'égalité demandée
> z + m n conj(z) = m + n
>
>[/color]

Que se passe-t-il si m=n ?

> --
> Myra
>

[Anonyme]

j'avais oublié de préciser que m et n sont 2 points distincts

merci myra ;c)

[Anonyme]

"dufduf" a écrit dans le message news:
3f6f1c09$0$20172$626a54ce@news.free.fr...
> j'avais oublié de préciser que m et n sont 2 points distincts
>
> merci myra ;c)
>
>

Ce n'est pas si gênant, on obtient l'équation de tangente au cercle-unité en
m=n.
Sinon, ton exo était tout à fait intéressant.

[Anonyme]

"Pascal" a émis l'idée suivante :
> "dufduf" a écrit dans le message news:
> 3f6f1c09$0$20172$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
>> j'avais oublié de préciser que m et n sont 2 points distincts[/color]

C'est vrai, je l'avais pris comme cela, vu l'énoncé. Si l'énoncé avait
parlé de sécante (MN)au cercle trigonométrique, je n'aurai sans doute
pas oublié la position limite de la tangente en M.
[color=green]
>> merci myra ;c)[/color]

De rien.

> Ce n'est pas si gênant, on obtient l'équation de tangente au cercle-unité en
> m=n.

oui, on retrouve bien l'égalité vérifiée pour m = n, mais il faut
reprendre un autre raisonnement puisque la droite (MN)n'existe plus.

> Sinon, ton exo était tout à fait intéressant.

Je trouve aussi. Et pourrait être fait en TS ausi.


--
Myra