[topo] compact

[Anonyme]

Bonjour,

1) On nous a donné la propriété :
"Toute partie compacte d'un espace séparé est fermé"

Pourtant je croyais qu'un compact etait un fermé borné... donc forcement
fermé quel que soit l'espace...je me trompe ?

2) De plus, on me donne l'une des definitions d'un compact : "E est compact
s'il est séparé et si d'une famille de fermés dont l'intersection est vide
on peut extraire une famille finie ayant une intersection vide"
J'ai du mal avec cette definition : Prenons l'ensemble des réels R (non
compact) avec la topologie usuelle (donc séparé). Prenons n'importe quelle
famille de fermés d'intersection vide. Par exemple : { [a, a+0.9] , a
entier }
Je pourrais toujours extraire une famille finie de fermés d'intersection
vide (par exemple { [0, 0.9] ; [1, 1.9] }.
J'ai donc extrait une famille finie d'intersection vide d'une famille de
fermés d'intersection vide dans un espace non compact.... non ?

3) On nous a donné comme exemple de compact l'ensemble :
A = { 0, 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n }
et de non compact :
B = {1, 1/2, 1/3, ...., 1/n }
je me souviens avoir compris sur le coup quand on nous l'a dit en cours,
mais maintenant en tout cas, je ne comprend plus pourquoi A est compact et B
ne l'est pas...

4) (aucun lien avec les compacts, mais je ne voulais pas créer un topic rien
que pour ca) :
Peut on me confirmer que l'ensemble des parties de R est bien l'ensemble de
toutes les reunions d'intervalles quelconques (ouverts ou fermés ou semi
ouverts) de R ?
J'arrive bien à me figurer P(N) (l'ensemble des parties des entiers
naturels), mais j'arrive pas trop à me representer P(R) ...


Merci pour tout !

Nicolas Bonneel
http://www.byosphere.com

[Anonyme]

"Nicolas Bonneel" a écrit

> 1) On nous a donné la propriété :
> "Toute partie compacte d'un espace séparé est fermé"
>
> Pourtant je croyais qu'un compact etait un fermé borné... donc forcement
> fermé quel que soit l'espace...je me trompe ?

Oui. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, une partie est
compacte si, et seulement si, elle est fermée dans l'espace total et bornée.
Mais sinon on ne peut rien dire, vu qu'il y a des tonnes de définitions pour
la compacité et qu'elles ne sont pas partout les mêmes.

> 2) De plus, on me donne l'une des definitions d'un compact : "E est
compact
> s'il est séparé et si d'une famille de fermés dont l'intersection est vide
> on peut extraire une famille finie ayant une intersection vide"
> J'ai du mal avec cette definition : Prenons l'ensemble des réels R (non
> compact) avec la topologie usuelle (donc séparé). Prenons n'importe quelle
> famille de fermés d'intersection vide. Par exemple : { [a, a+0.9] , a
> entier }
> Je pourrais toujours extraire une famille finie de fermés d'intersection
> vide (par exemple { [0, 0.9] ; [1, 1.9] }.
> J'ai donc extrait une famille finie d'intersection vide d'une famille de
> fermés d'intersection vide dans un espace non compact.... non ?

Oui... Mais tu ne peux pas le faire pour n'importe laquelle de ces familles:
prends la famille des complémentaires de ]n,n+1[ par exemple.

> 3) On nous a donné comme exemple de compact l'ensemble :
> A = { 0, 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n }
> et de non compact :
> B = {1, 1/2, 1/3, ...., 1/n }
> je me souviens avoir compris sur le coup quand on nous l'a dit en cours,
> mais maintenant en tout cas, je ne comprend plus pourquoi A est compact et
B
> ne l'est pas...

Parceque A est l'ensemble des valeurs d'une suite convergente union sa
limite: traduit ta définition avec des fermés en une définition avec des
ouverts et tu verra pourquoi ça marche.

> 4) (aucun lien avec les compacts, mais je ne voulais pas créer un topic
rien
> que pour ca) :
> Peut on me confirmer que l'ensemble des parties de R est bien l'ensemble
de
> toutes les reunions d'intervalles quelconques (ouverts ou fermés ou semi
> ouverts) de R ?

Oui si on peut prendre des réunions quelconques
Non si on la veut dénombrable, il y en a (plein) d'autres.

--
Maxi

[Anonyme]

> > 2) De plus, on me donne l'une des definitions d'un compact : "E est
> compact[color=green]
> > s'il est séparé et si d'une famille de fermés dont l'intersection est[/color]
vide[color=green]
> > on peut extraire une famille finie ayant une intersection vide"
> > J'ai du mal avec cette definition : Prenons l'ensemble des réels R (non
> > compact) avec la topologie usuelle (donc séparé). Prenons n'importe[/color]
quelle[color=green]
> > famille de fermés d'intersection vide. Par exemple : { [a, a+0.9] , a
> > entier }
> > Je pourrais toujours extraire une famille finie de fermés d'intersection
> > vide (par exemple { [0, 0.9] ; [1, 1.9] }.
> > J'ai donc extrait une famille finie d'intersection vide d'une famille de
> > fermés d'intersection vide dans un espace non compact.... non ?
>
> Oui... Mais tu ne peux pas le faire pour n'importe laquelle de ces[/color]
familles:
> prends la famille des complémentaires de ]n,n+1[ par exemple.

les elements de cette famille n'ont pas une intersection vide si ?
n = 1 : ]-inf, 1]U[2, +inf[
n = 2 : ]-inf, 2]U[3, +inf[

donc l'intersection de ces 2 elements vaut ]-inf, 1]U[3, +inf[ ....

à moins qu'on ne considere que l'intersection de TOUS les elements de la
famille ??


[color=green]
> > 4) (aucun lien avec les compacts, mais je ne voulais pas créer un topic
> rien
> > que pour ca) :
> > Peut on me confirmer que l'ensemble des parties de R est bien l'ensemble
> de
> > toutes les reunions d'intervalles quelconques (ouverts ou fermés ou semi
> > ouverts) de R ?
>
> Oui si on peut prendre des réunions quelconques
> Non si on la veut dénombrable, il y en a (plein) d'autres.[/color]

ben en general, P(R) c'est quoi alors ?


Merci à toi !

Nicolas Bonneel
http://www.byosphere.com

[Anonyme]

> > Oui... Mais tu ne peux pas le faire pour n'importe laquelle de ces
> familles:[color=green]
> > prends la famille des complémentaires de ]n,n+1[ par exemple.
>
> les elements de cette famille n'ont pas une intersection vide si ?
> n = 1 : ]-inf, 1]U[2, +inf[
> n = 2 : ]-inf, 2]U[3, +inf[
>
> donc l'intersection de ces 2 elements vaut ]-inf, 1]U[3, +inf[ ....
>
> à moins qu'on ne considere que l'intersection de TOUS les elements de la
> famille ??[/color]
C'est exactement ce que l'on fait.
--
Jérôme

[Anonyme]

"Nicolas Bonneel" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50226),
a écrit :
> Bonjour,

Salut.

> 1) On nous a donné la propriété :
> "Toute partie compacte d'un espace séparé est fermé"
>
> Pourtant je croyais qu'un compact etait un fermé borné... donc
> forcement fermé quel que soit l'espace...je me trompe ?

De façon générale, lorsque tu as affaire à juste un espace topologie,
« borné » ne veut rien dire, puisque tu n'as pas de distance.

Par contre, il y a une définition générale de la compacité pour un
espace topologie. On dit qu'un espace topologique X est compact s'il
est séparé (enfin ça dépend sur ce point ; parfois, on le met, parfois
non -- en plus les conventions françaises et anglosaxones sont
différentes) et si de *tout* recouvrement par des ouverts, on peut
extraire un sous-recouvrement fini. C'est la propriété de Borel-Lebesgue
que tu as déjà du rencontré rencontrer.

C'est donc la définition générale. J'attire l'attention sur le fait que
souvent on prend un espace topologique X et on parle de compacité pour
une partie de X... et a priori je n'ai pas défini cette notion. Toutefois
si A est une partie d'un espace topologique X, alors A hérite lui-même
d'une topologie, que l'on appelle la topologie trace, et donc est à son
tour un espace topologie. La topologie trace est définie de la façon
suivante : un sous-ensemble de A est un ouvert pour cette topologie (on
dit un ouvert de A) s'il s'écrit comme l'intersection de A par un ouvert
de X. C'est un exercice facile de vérifier les axiomes des espaces
topologiques.

Ainsi, si on déroule (un peu) les définitions, on voit qu'une partie A
de X est compacte, si et seulement si de tout recouvrement de A par des
ouverts (de X), on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Bon, bref. Alors maintenant, comme tout, il y a des caractérisations dans
des cas particuliers. Et j'insiste bien sur « dans des cas particuliers ».
Par exemple, si X est un espace métrique, X est aussi un espace
topologique (car la métrique induit une topologie), et une partie A de
X est compacte si et seulement si toute suite à valeurs dans A admet une
valeur d'adhérence dans A. Mais j'insiste bien : cela ne marche que pour
les espaces métriques. Même si l'on peut définir la convergence des
suites sans avoir une métrique, et que donc la propriété précédente a un
sens dans le cas général, elle n'est pas vraie tout le temps.

Aussi, dans le cas encore plus particulier où X est un espace vectoriel
normé réel de dimension finie (et toutes les hypothèses sont importantes)
une partie A de X est compacte si et seulement si elle est fermée et
bornée.

Maintenant, ce qui est vrai dans le cas général, c'est qu'une partie
compacte, disons A, d'un espace séparé, disons X, est fermée. Alors
pourquoi ? (Waow, j'ai même réussi à le faire). Donc je prends x dans
X et pas dans A, et je veux montrer qu'il existe un ouvert contenant
x et n'intersectant pas A ; ça suffira à conclure : en effet, la réunion
de tous ces ouverts sera exactement X\A et sera ouvert par propriété
de stabilité.

Donc, je prends mon x. Pour tout a dans A, je peux trouver, puisque
l'espace est séparé, deux ouverts U_a et V_a tels que x in U_a, a in V_a
et U_a et V_a disjoints. La réunion de tous les U_a recouvre A, donc on
peut en extraire un sous-recouvrement fini, disons (U_a1, U_a2, ..., U_an).
Mézalor, l'intersection de V_a1, ..., v_an ne recontre pas X. C'est
évidemment un ouvert qui contient a. Youpi.

Bref, si j'ai fait la démonstration, c'est pour te montrer qu'elle
n'utilise que des arguments topologiques... on ne peut pas faire inter-
venir de distance, ou je ne sais quoi.

> 2) De plus, on me donne l'une des definitions d'un compact : "E est compact
> s'il est séparé et si d'une famille de fermés dont l'intersection est vide
> on peut extraire une famille finie ayant une intersection vide"
> J'ai du mal avec cette definition : Prenons l'ensemble des réels R (non
> compact) avec la topologie usuelle (donc séparé). Prenons n'importe quelle
> famille de fermés d'intersection vide. Par exemple : { [a, a+0.9] , a
> entier }
> Je pourrais toujours extraire une famille finie de fermés d'intersection
> vide (par exemple { [0, 0.9] ; [1, 1.9] }.
> J'ai donc extrait une famille finie d'intersection vide d'une famille de
> fermés d'intersection vide dans un espace non compact.... non ?

Oui. Mais il n'y a pas de problèmes.

Pour être compact, il faut que ce soit vrai pour *toute* famille de
fermés dont l'intersection. (Entre parenthèses l'intersection d'une
famille, c'est l'intersection de tous les éléments de cette famille).
Ce n'est donc pas parce que tu as trouvé dans lequel ça marche que c'est
le cas de tous. Et en réfléchissant un peu même adapter ton exemple
pour qu'il ne marche pas, et tu auras ainsi prouvé que R n'est pas
compact.

Par contre, si tu remplaces R par [0,1], tu ne pourras plus trouver
d'exemples dans lequel ça ne marche pas.

> 3) On nous a donné comme exemple de compact l'ensemble :
> A = { 0, 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n }
> et de non compact :
> B = {1, 1/2, 1/3, ...., 1/n }
> je me souviens avoir compris sur le coup quand on nous l'a dit en cours,
> mais maintenant en tout cas, je ne comprend plus pourquoi A est compact
> et B ne l'est pas...

Alors, soit tu utilises la propriété que j'ai donnée à propos des espaces
métriques, puisque là il se trouve que A et B sont métriques...

B n'est pas compact, car la suite (1/n) n'admet pas de valeur d'adhérence
dans B : comme elle converge vers 0, sa seule valeur d'adhérence possible
est 0, mais 0 n'est pas dans B.

Pour A, c'est un peu plus pénible. On prend une suite (x_n) d'éléments de
A et on veut prouver qu'elle a une valeur d'adhérence dans A. Alors il y
a deux cas : soit il existe un entier N tel que la suite (x_n) ne prenne
que les valeurs 0, 1, 1/2, ..., 1/N. Dans ce cas, au moins une de ces
valeurs est prise une infinité de fois et donc est valeur d'adhérence.

Sinon, la suite (x_n) prend des valeurs 1/k pour k arbitrairement grand
et on prouve alors (je te laisse faire) que 0 est valeur d'adhérence.
Bref, ça marche tout le temps.

Mais aussi, tu peux revenir à la définition avec des recouvrements ouverts
ou des familles de fermés d'intersection vide, on doit s'en sortir sans
plus de difficultés.

> Peut on me confirmer que l'ensemble des parties de R est bien l'ensemble de
> toutes les reunions d'intervalles quelconques (ouverts ou fermés ou semi
> ouverts) de R ?

Bah, tu peux toujours dire que une partie A de R est réunion des
singletons {a} pour a décrivant A, mais bon...

> J'arrive bien à me figurer P(N) (l'ensemble des parties des entiers
> naturels), mais j'arrive pas trop à me representer P(R) ...

Moi, j'arrive ni pour un ni pour l'autre. Connerie d'axiome du choix .

Sérieusement, ne t'inquiète pas : P(R) c'est un truc totalement affreux
qui peut être un peu n'importe quoi. J'exagère pas quand je dis ça. On
peut trouver des modèles différents des mathématiques dans lesquels P(R)
ne sont pas les mêmes. Autrement dit, on ne peut pas en donner une
description explicite, non !

D'ailleurs c'est déjà la même chose pour R et pour P(N), mais bon...
Pour P(R), c'est encore plus affreux.

[Anonyme]

whaooo... merci pour le temps que tu as dû passer à rediger tout ca!
je m'en vais mediter un peu là dessus....

Merci!


Nicolas Bonneel
http://www.byosphere.com