Combinaisons linéaires

[Anonyme]

Bonjour,

Voici un calcul qui me pose problème :
On a :

x = (f - a*Id) / (b-a)
y = (f - b*Id) / (a-b)
(Id c'est l'identité)
Mon but est de calculer f^n donc je dois tout d'abord établir une expression
de f en fonction de x, y, b et a. (une combinaison linéaire pour pouvoir
utiliser le binôme)

Dans la plupart des exos que j'avais rencontré auparavant, ca allait tout
seul avec des formules du genre f = 3x + 4y mais là ca coince

Merci d'avance !

(oui je sais c'est purement calculatoire mais j'arrive pas à avoir cette
expression :-/ )

[Anonyme]

Si ca peut aider, on a :
f² -(a+b)f + abId = 0

[Anonyme]

"ZorgluB" a écrit dans le message de news:
4018163d$0$32548$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Voici un calcul qui me pose problème :
> On a :
>
> x = (f - a*Id) / (b-a)
> y = (f - b*Id) / (a-b)
> (Id c'est l'identité)
> Mon but est de calculer f^n donc je dois tout d'abord établir une
expression
> de f en fonction de x, y, b et a. (une combinaison linéaire pour pouvoir
> utiliser le binôme)

tu n'aurais pas par hasard f qui vérifie (f-aI)o(f-bI)=0
Dans ce cas, xoy=yox=0, x^2=x, y^2=y, x+y=Id
c'est donc des projecteurs qui commutent et x,y commutent avec f
d'autre part,
f=(b-a)x+aI donc tu peux appliquer le binôme ce qui te donne
f^n= a^nId+sum(k=1 à n, C(n,k)(b-a)^kx^k*a^(n-k)
=a^nId+x*sum(k=1 à n, C(n,k)(b-a)^k*a^(n-k))
=a^nId+x*[sum(k=0 à n, C(n,k)(b-a)^k*a^(n-k)) - a^n]
=a^nId+x*[b^n - a^n]
=a^nId+x*[b^n - a^n]

[Anonyme]

> tu n'aurais pas par hasard f qui vérifie (f-aI)o(f-bI)=0
> Dans ce cas, xoy=yox=0, x^2=x, y^2=y, x+y=Id

Sisi j'ai bien ca

L'ennui c'est que je dois donner f en fonction de x et y, sinon j'arrivais
au meme résultat que toi a peu près...

> c'est donc des projecteurs qui commutent et x,y commutent avec f
> d'autre part,
> f=(b-a)x+aI donc tu peux appliquer le binôme ce qui te donne
> f^n= a^nId+sum(k=1 à n, C(n,k)(b-a)^kx^k*a^(n-k)
> =a^nId+x*sum(k=1 à n, C(n,k)(b-a)^k*a^(n-k))
> =a^nId+x*[sum(k=0 à n, C(n,k)(b-a)^k*a^(n-k)) - a^n]
> =a^nId+x*[b^n - a^n]
> =a^nId+x*[b^n - a^n]

Et il me reste a montrer que f est inversible pour ab différent de 0...