Carré intégrable => majorée ?

[Anonyme]

Bonjour,

Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
fonction soit majorée ?

Merci.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
> fonction soit majorée ?

Regarde 1/x sur [1;+oo[
Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).

--
Nico.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
>[color=green][color=darkred]
> >>Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
> >>fonction soit majorée ?
> >
> > Regarde 1/x sur [1;+oo[
> > Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).[/color]
>
> Merci pour le contre-exemple qui ne m'arrange pas.
>
> Et si la fonction est tout simplement intégrable (appartient à L1) ?[/color]

1/x^2 ? =)

Pour une mesure finie:
1/x^r sur [0;1]

elle est dans L^p si r 0

Si tu demandes Riemann-intégrable, c'est dans la définition
d'intégrabilité qu'elle soit bornée.
Si c'est pour lebesgue tu peux prendre par exemple la fonction
caractéristique de Q, et la diviser par x pour qu'elle ait des points
tendant vers l'infini en 0. Mais comme Q est de mesure nulle, ça
comptera pour du beurre et l'intégrale sera nulle.
Avec lebesgue on peut rien dire dans l'absolu, puisque sur les ensembles
de mesure nulle il se passe tout ce qu'on veut.

--
Nico.

[Anonyme]

> Regarde 1/x sur [1;+oo[
> Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).

Au fait, les fonctions non intégrables sont bien celles qui ne se
calculent pas, à savoir celles qui ont une asymptote, et celles qui
oscillent quand l'intervalle est infini ?

[Anonyme]

>>Et si la fonction est tout simplement intégrable (appartient à L1) ?
>
> 1/x^2 ? =)
>
> Pour une mesure finie:
> 1/x^r sur [0;1]
>
> elle est dans L^p si r 0
>
> Si tu demandes Riemann-intégrable, c'est dans la définition
> d'intégrabilité qu'elle soit bornée.
> Si c'est pour lebesgue tu peux prendre par exemple la fonction
> caractéristique de Q, et la diviser par x pour qu'elle ait des points
> tendant vers l'infini en 0. Mais comme Q est de mesure nulle, ça
> comptera pour du beurre et l'intégrale sera nulle.
> Avec lebesgue on peut rien dire dans l'absolu, puisque sur les ensembles
> de mesure nulle il se passe tout ce qu'on veut.

En fait, c'est une fonction dont on sait qu'elle appartient à L1 et L2,
et dont ont a calculé l'intégrale du carré de la série de Fourier
(*finie*), ce qui nous donne la relation de Parseval.
Je voudrais appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue
pour généraliser à la série de Fourier avec un nombre de termes infinie,
mais je dois satisfaire à l'hypothèse que la série est bornée...

[Anonyme]

"Oodini" a écrit dans le message de
news:3FFBCF3E.7000300@free.fr...
> Bonjour,
>
> Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
> fonction soit majorée ?
>
> Merci.
> oui bien sur

[Anonyme]

> > Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette[color=green]
> > fonction soit majorée ?
> >
> > Merci.[/color]

> oui bien sur

Nicolas Richard n'a pas l'air d'accord !

[Anonyme]

"Oodini" a écrit dans le message de news:
3FFBCF3E.7000300@free.fr...
> Bonjour,
>
> Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
> fonction soit majorée ?

Tu prends une suite de triangles (Tn) telle que le triangle Tn soit isocèle
de base [n-1/n,1n+1/n] et d'aire 1/n^2.
Tu considères la fonction dont le graphique est donné par la réunion de ces
triangles c'est-à-dire la fonction définie par
f(x)=a(n)x+b(n) sur l'intervalle [n-1/n,n]
f(x)=c(n)x+d(n)
f(x)=0 en dehors des intervalles [n-1/n,n+1/n]
(avec a(n), b(n), c(n) et d(n) déterminés par f(n-1/n)=f(n+1/n)=0 et
f(n)=n^3 l'aire d'un tel triangle est Base*hauteur/2)
Cette fonction est intégrable et elle ne peut jamais être majoré en +oo

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 3FFBD802.8B0C46C1@yahoo.fr...
> Oodini a écrit :[color=green]
> > Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
> > fonction soit majorée ?
>
> Regarde 1/x sur [1;+oo[
> Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).[/color]

1/x =1 !
il est plus intéressant d'utiliser la fonction 1/sqrt(x) sur l'intervalle
[0,1] qui n'est pas bornée en 0

[Anonyme]

>>Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette[color=green]
>>fonction soit majorée ?
>
> Regarde 1/x sur [1;+oo[
> Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).[/color]

Merci pour le contre-exemple qui ne m'arrange pas.

Et si la fonction est tout simplement intégrable (appartient à L1) ?

[Anonyme]

Masterbech a écrit :
> 1/x =1 !

Parfois je m'épate moi même, tellement je peux être distrait.

> il est plus intéressant d'utiliser la fonction 1/sqrt(x) sur l'intervalle
> [0,1] qui n'est pas bornée en 0

Heureusement que je l'avais sortie aussi celle là, ça me sauve vaguement
l'honneur.
Bon allez, je propose x*sin(x^3) pour me faire pardonner.

--
Nico.

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 3FFBD802.8B0C46C1@yahoo.fr...
> Oodini a écrit :[color=green]
> > Le fait qu'une fonction ait son carré intébrable implique-t-il que cette
> > fonction soit majorée ?
>
> Regarde 1/x sur [1;+oo[
> Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).
>
> --
> Nico.[/color]

1/x n'est pas majorée sur [1,+inf[ ???
Les choses auraient changé depuis que j'ai été étudiant ?

[Anonyme]

> > Regarde 1/x sur [1;+oo[[color=green]
> > Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).
> >
> > --
> > Nico.
>
> 1/x n'est pas majorée sur [1,+inf[ ???
> Les choses auraient changé depuis que j'ai été étudiant ?[/color]

Mon pauvre Nicolas, il semble que ta réputation soit grillée pour de longs
mois.
Sincèrement désolé de t'avoir mos dans l'embarras.

[Anonyme]

> > Le fait qu'une fonction ait son carré intégrable implique-t-il que cette[color=green]
> > fonction soit majorée ?
>
> Tu prends une suite de triangles (Tn) telle que le triangle Tn soit[/color]
isocèle
> de base [n-1/n,1n+1/n] et d'aire 1/n^2.
> (...)

Je crois que j'ai compris l'origine de mon problème: j'avais oublié une
hypothèse fondamentale.

Sur un intervalle *FINI*:
si f est de carré intégrable
alors f est intégrable, continue presque partout, et majorée par une
fonction intégrable.

Merci de confirmer, et désolé pour els dommages colatéraux.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
>[color=green]
> > Regarde 1/x sur [1;+oo[
> > Carré intégrable, pas majorée (et pas intégrable par ailleurs).
>
> Au fait, les fonctions non intégrables sont bien celles qui ne se
> calculent pas, à savoir celles qui ont une asymptote, et celles qui
> oscillent quand l'intervalle est infini ?[/color]

f est intégrable sur A, si "int_A |f| dµ < +oo". Bref il faut que
l'intégrale du module soit finie (ou l'intégrale de sa p-ième puissance
pour être L^p). Ca peut osciller, ça peut asymptoter à tout va,... ou
pas. Sur R, sin(x^2) est intégrable, et pas sin(x) par exemple. 1/x^2
est intégrable sur [1;+oo[ et pas 1/x. Comme quoi, ça dépend.

Riemann demande une fonction bornée sur un intervalle fini (et puis ça
se laisse plus ou moins généraliser à des fonctions non bornées sur des
domaine infinis).

--
Nico.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Sur un intervalle *FINI*:
> si f est de carré intégrable
> alors f est intégrable, continue presque partout, et majorée par une
> fonction intégrable.

Sur un ensemble de mesure finie, on a bien l'inclusion L^q dans L^p si q
> p. La majoration de f par une fonction intégrable ben, f étant intégrable...

Par contre continue presque partout tu peux l'oublier (au pif du hasard:
fonction caractéristique de Q)

> Merci de confirmer, et désolé pour els dommages colatéraux.

C'est pas la premiere connerie plus grosse que moi que je sors, et sans
doute pas la derniere

--
Nico.

[Anonyme]

> Je crois que j'ai compris l'origine de mon problème: j'avais oublié une
> hypothèse fondamentale.
>
> Sur un intervalle *FINI*:
> si f est de carré intégrable
> alors f est intégrable, continue presque partout, et majorée par une
> fonction intégrable.

-Majorée par une fonction intégrable, c'est évident : elle est majorée par
elle-même (??!!)
-continue presque partout : dit comme ça c'est faux, le bon intitulé est "f
admet un représentant qui est continu presque partout" (ça par contre c'est
vrai il me semble)

[Anonyme]

> -continue presque partout : dit comme ça c'est faux, le bon intitulé est
"f
> admet un représentant qui est continu presque partout"
> (ça par contre c'est vrai il me semble)

Un représentant ? Qu'est-ce que c'est que cet objet mathématique ?
(désolé, terme trop générique pour une recherche sur Google...)


Les ensembles L^p ne sont pas des ensembles de fonctions, mais des classes
d'équivalences de fonctions égales sauf sur un ensemble négligeable
En gros, on identifie 2 fonctions qui sont égales presque partout, c'est à
dire partout sauf sur un ensemble de mesure nulle. Un élément d'une classe
d'équivalence est appelé représentant de cette classe

Par exemple : la fonction nulle et la fonction caractéristique de Q
représentent la même "fonction" de L^p, parce qu'elles ne diffèrent que sur
Q, qui est de mesure nulle. L'une est continue partout, l'autre nulle part

NB : peux-tu "répondre au groupe" au lieu de "répondre par mail" pour faire
profiter à tout le monde tes participations ?

[Anonyme]

> Les ensembles L^p ne sont pas des ensembles de fonctions, mais des classes
> d'équivalences de fonctions égales sauf sur un ensemble négligeable
> En gros, on identifie 2 fonctions qui sont égales presque partout, c'est à
> dire partout sauf sur un ensemble de mesure nulle. Un élément d'une classe
> d'équivalence est appelé représentant de cette classe
>
> Par exemple : la fonction nulle et la fonction caractéristique de Q
> représentent la même "fonction" de L^p, parce qu'elles ne diffèrent que
sur
> Q, qui est de mesure nulle. L'une est continue partout, l'autre nulle part

Je ne sais toujours pas ce qu'est la fonction caractéristique de Q, et je me
passerai donc de cet exemple, car je pense avoir bien pigé le premier
paragraphe.

> NB : peux-tu "répondre au groupe" au lieu de "répondre par mail" pour
faire
> profiter à tout le monde tes participations ?

C'est toujours ce que je fais, mais le pointeur de ma souris a du riper sur
le mauvais bouton. Désolé.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Je ne sais toujours pas ce qu'est la fonction caractéristique de Q, et je me
> passerai donc de cet exemple, car je pense avoir bien pigé le premier
> paragraphe.

C'est néanmoins le moment de savoir ce que c'est: la fonction
caractéristique d'un ensemble, c'est une fonction qui vaut 1 sur cet
ensemble et 0 ailleurs. Ca permet surtout de raccourcir les notations...

--
Nico.