Calul d'une intégrale

[Anonyme]

Bonjour je bloque sur cet exercice depuis un bon moment déja et je sollicite
donc votre aide
(je suis en mpsi)

On pose In(x) = intégrale(cos(nt)/(1-x*cos(t))dt) pour t de 0 a Pi
Calculer In(x) pour abs(x) <1 et n dans N

merci d'avance de vos réponses

[Anonyme]

On 2005-02-05, Gauss wrote:

> On pose In(x) = intégrale(cos(nt)/(1-x*cos(t))dt) pour t de 0 a Pi
> Calculer In(x) pour abs(x) <1 et n dans N

Ça doit se faire par récurrence en calculant I_{n+1}(x)+I_{n-1}(x) en
remarquant que cos(n+1)+cos(n-1)=2cos(t)cos(nt) et que
2x*cos(t)cos(nt)/(1-x*cos(t)) = 2cos(nt)/(1-x*cos(t)) - 2cos(nt)

--
http://www.trollomaths.org
E-mail: remove "pasde", "pub" and ".invalid"

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
4204d9ae$0$2190$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour je bloque sur cet exercice depuis un bon moment déja et je
> sollicite donc votre aide
> (je suis en mpsi)
>
> On pose In(x) = intégrale(cos(nt)/(1-x*cos(t))dt) pour t de 0 a Pi
> Calculer In(x) pour abs(x)
> merci d'avance de vos réponses
>Développer en série par rapport à x la fonction cos(nt)/(1-x*cos(t)). Après
>avoir justifié l'intégration terme à terme, on est ramené à calculer
>intégrale(cos(nt)*(cos(t))^n de 0 à Pi. Chacune de ces intégrales vaut
>pi/(2^n) par exemple par linéarisation.On est ramené à faire la somme des
>termes d'une suite géométrique de raison x/2 donc convergente et de premier
>terme 1. On obtient ainsi le résultat final que je te laisse le plaisir de
>trouver. Bon courage.