[MP] Calcul d'une integrale

[Anonyme]

Bonjour,

Pourriez-vous me donner une piste pour calculer l'intégrale suivante ?
int(0,Pi) ln(a + b.cos(t)) dt avec |b| < a
(tiré d'un oral des Mines)

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
pan.2005.06.01.11.43.44.918000@alussinan.org...
> Bonjour,
>
> Pourriez-vous me donner une piste pour calculer l'intégrale suivante ?
> int(0,Pi) ln(a + b.cos(t)) dt avec |b| (tiré d'un oral des Mines)
>
> Merci.

Si tu factorises par a, tu a du ln(1+k cos(t)) avec |k cos(t)|<1 donc tu
peux penser à développer en série entière. ça peut être une piste...

[Anonyme]

On Wed, 01 Jun 2005 14:54:44 +0200, Cyberchand wrote:

> Si tu factorises par a, tu a du ln(1+k cos(t)) avec |k cos(t)| peux penser à développer en série entière. ça peut être une piste...

Ok, je trouve par interversion des signes somme à l'intérieur du disque
de convergence, en notant k l'intégrale de Wallis qui apparaît

[regarder la suite avec une police à chasse fixe svp]

(-1)^(k-1) (b/a)^k
I = Pi*ln(a) + sum(k,1,oo) ------------------ W_k
k
= Pi*ln(a) + S

(2p)! Pi
W_(2p+1)=0, W_(2p)= ----------
(4^p p!^2)

Et donc,
-Pi (2p)!
S = --- * sum(p,1,oo) -------------- (b/a)^2p
2 p 4^p p!^2

^
Ce terme là ...........^
me dérange


Et là je sens qu'il faut utiliser un DSE usuel du style :
(2n)!
(1-z^2)^(1/2) = sum(k,0,oo) -------- z^(2n) pour |z|<1
4^n n!^2

Mais ça n'aboutit pas.

Des idées ?

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Wed, 01 Jun 2005 18:14:35 +0200, Michel wrote:

> Mais ça n'aboutit pas.

Je me rappelle aussi d'une colle passée cette année où le calcul d'une
intégrale imbuvable se faisait au moyen d'une intégrale double
intermédiaire judicieusement choisie. L'astuce étant d'utiliser le
théorème de Fubini.

Désolé d'être aussi vague, la méthode me paraissait assez tirée par
les cheveux à l'époque.

Est-ce que ce genre de méthode marcherait ici ?
Où pourrais-je en trouver plus sur le sujet ?

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
pan.2005.06.01.11.43.44.918000@alussinan.org...
> Bonjour,
>
> Pourriez-vous me donner une piste pour calculer l'intégrale suivante ?
> int(0,Pi) ln(a + b.cos(t)) dt avec |b| (tiré d'un oral des Mines)

Tu fixes a, et tu dérives par rapport à b (en le justifiant mais cela n'est
pas trop dur). La dérivée est une intégrale de fraction rationnelle qui se
calcule à la main (vive le cours de sup, pour une fois qu'on l'utilise aux
oraux), ce qui te donne la dérivée sous la forme d'une fonction usuelle, ce
qui te fournit l'expression de l'intégrale (à une constante près facile à
expliciter)

*******************
http://www.mathematiques.fr.st
100 exos de Taupe en +
150 exos de PHEC en +
******************

[Anonyme]

On Wed, 01 Jun 2005 19:44:55 +0200, masterbech wrote:

> Tu fixes a, et tu dérives par rapport à b

Ok, si je pose f(x) = int(0,Pi) ln(a + x.cos(t)) dt
j'ai f'(x) = int(0,Pi) cos(t)/[a + x.cos(t)] dt
(thm de Leibniz des IàP)

Les régles de Bioche ne fonctionnant pas pour f', je suis contraint de
poser u = tan t/2 et donc de ramener mon intégrale sur [0,+oo[, alors :

f'(x) = 2 int(0,+oo) (1-u^2) / [(1+u^2)((1+u^2)a + x(1-u^2))] du

La DES de cette fraction donne : (Maple)

1 1 a 1
--- ------- - ------ -----------------
x u^2 + 1 (a-x)x u^2 + (a+x)/(a-x)


Pi 1 a
et f'(x) = --- ( --- - ------------------ )
2 x x (a^2-x^2)^(1/2)

La seule valeur facile à calculer étant f(0), j'ai maintenant un
problème pour intégrer f'(x) à cause du terme 1/x.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

| On Wed, 01 Jun 2005 19:44:55 +0200, masterbech wrote:
|
| > Tu fixes a, et tu dérives par rapport à b
|
| Ok, si je pose f(x) = int(0,Pi) ln(a + x.cos(t)) dt
| j'ai f'(x) = int(0,Pi) cos(t)/[a + x.cos(t)] dt
| (thm de Leibniz des IàP)
|
| Les régles de Bioche ne fonctionnant pas pour f', je suis contraint de
| poser u = tan t/2 et donc de ramener mon intégrale sur [0,+oo[, alors :
|
| f'(x) = 2 int(0,+oo) (1-u^2) / [(1+u^2)((1+u^2)a + x(1-u^2))] du
|
| La DES de cette fraction donne : (Maple)
|
| 1 1 a 1
| --- ------- - ------ -----------------
| x u^2 + 1 (a-x)x u^2 + (a+x)/(a-x)
|
|
| Pi 1 a
| et f'(x) = --- ( --- - ------------------ )
| 2 x x (a^2-x^2)^(1/2)
|
| La seule valeur facile à calculer étant f(0), j'ai maintenant un
| problème pour intégrer f'(x) à cause du terme 1/x.
|

Mais il y aura compensation des infinis...donc se contenter de calculer la
primitive et déterminer la constante seulement à la fin.
Resu : Pi.Log((a+sqrt(a^2-b^2))/2)
Par contre, en quoi consistent les règles de Bioche ?...

--
Jean-Pierre LEVREL
levreljp234@free.fr

| --
| Michel [overdose@alussinan.org]