Borne sup

[Anonyme]

Hello,

Je cherche à determiner la borne sup dans R de
A = { a - 1/n | n entier > 0 }.

Pour cela (je conjecture que c'est a),
je montre que a est un majorant de A,
puis si m est un majorant de A, je montre
que a <= m (i.e. que a est le plus petit majorant).
Pour cela, je raisonne par l'absurde en supposant
que m < a et j'exhibe un élément de A strictement
supérieur à m (en choisissant un n suffisamment grand).

Est-il possible de faire plus simple en évitant le
raisonnement par l'absurde ?

merci d'avance

[Anonyme]

> Est-il possible de faire plus simple en évitant le
> raisonnement par l'absurde ?

Soit m un majorant de A. Alors, pout tout n, a-1/n <= m. Donc, par passage à
la limite, a <= m.
--
Jérôme

[Anonyme]

"Jerome" a écrit dans le message de news:
40155eb4$0$7136$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Est-il possible de faire plus simple en évitant le
> > raisonnement par l'absurde ?
>
> Soit m un majorant de A. Alors, pout tout n, a-1/n la limite, a <= m.[/color]

Ah oui, tout simplement...
mais alors meme question si je remplace A par ] - inf ; a [ ?

[Anonyme]

> > Soit m un majorant de A. Alors, pout tout n, a-1/n à
> > la limite, a
> Ah oui, tout simplement...
> mais alors meme question si je remplace A par ] - inf ; a [ ?

On peut faire le même raisonnement. Soit m un majorant de A. Pour tout n,
a-1/n est dans ] - inf ; a [, donc pour tout n, a-1/n <= m. En passant à la
limite, on obtient a <= m.

De toutes façons, si une partie B est incluse dans A, on a nécessairement,
sup(B) <= sup(A).

--
Jérôme