Borne inferieure?

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit soucis pour cet exo:

Soit E={polynomes unitaires de Rn[X]}

montrer que inf ( int(abs(P), sur [0,1]) >0

je ne vois pas du tout comment le montrer . Je peux prendre un P de E, il est
de la forme:

P(X)=X^n +Sum(ak*X^k, k=0..n-1)

c'est la valeur absolue qui me gene, on peut majorer mais minorer...

[Anonyme]

Ecce santiago wrote:
> J'ai un petit soucis pour cet exo:
> Soit E={polynomes unitaires de Rn[X]}
> montrer que inf ( int(abs(P), sur [0,1]) >0

par des minorations,je ne vois pas là en ce moment comment le faire.
Par contre, N:P --> int (abs(P), sur [0,1] ) est une norme sur Rn[X]il me
semble, elle est donc équivalente à la norme Max:P--> max (abs(ai) ,i=0...n )
(la norme max des coefficients de P)
il existe donc a,b >0 telque a*max(P)<= N(P)
d'où a*inf(max(P)) <= inf ( int(abs(P), sur [0,1])
et sur E, inf(max(P) )= 1 si je ne dis pas de bêtise ;*(
d'où 0< a<= inf ( int(abs(P), sur [0,1])

Par contre, une solution plus "naturelle" m'intéresse aussi

[Anonyme]

>par des minorations,je ne vois pas là en ce moment comment le faire.
>Par contre, N:P --> int (abs(P), sur [0,1] ) est une norme sur Rn[X]il me
>semble, elle est donc équivalente à la norme Max:P--> max (abs(ai) ,i=0...n )
>
>(la norme max des coefficients de P)
>il existe donc a,b >0 telque a*max(P)d'où a*inf(max(P)) et sur E, inf(max(P) )= 1 si je ne dis pas de bêtise ;*(
>d'où 0
>Par contre, une solution plus "naturelle" m'intéresse aussi

Je ne sais pas s'il existe une solution plus naturelle, mais je trouve cette
démonstration fort belle. Elle utilise l'equivalence des normes en dimension
finie (alors qu'on croyait que ce theoreme ne servait à rien) et en quelques
lignes clos le débat.

magnifique!

[Anonyme]

Ecce santiago wrote:[color=green]
>>par des minorations,je ne vois pas là en ce moment comment le faire.
>>Par contre, N:P --> int (abs(P), sur [0,1] ) est une norme sur Rn[X]il me
>>semble, elle est donc équivalente à la norme Max:P--> max (abs(ai) ,i=0...n )
>>
>>(la norme max des coefficients de P)
>>il existe donc a,b >0 telque a*max(P)>d'où a*inf(max(P)) >et sur E, inf(max(P) )= 1 si je ne dis pas de bêtise ;*(
>>d'où 0>
>>Par contre, une solution plus "naturelle" m'intéresse aussi [/color]

Ben moi je donne une autre solution :

Si P est un polynome unitaire de degrés n, j'imagine que abs(P) ne va
pas être nul sur [0,1]. En gros, si P est nul sur [0,1], c'est que P est
le polynome nul (car il aurait une infinité de racines), et ceci est
impossible car c'est un polynome unitaire de degrés n (donc au plus n
racines dans R). Donc il existe x1 dans [0,1] tel que abs(P(x1))>0.

A partir de ce moment là, par continuité, c'est qu'il existe un
voisinage de x1 sur lequel P est strictement positif. notons le
[x1-a, x1+a]. on décompose alors l'intégrale de abs(P) sur [0,1] en
trois intégrales : sur [0,x1-a], [x1-a,x1+a], [x1+a,0]. Ces trois bout
d'intégrales sont positifs, et celui du milieu est strictement positif,
donc int(abs(P),x=0..1)>0

J'ai bon ?

Alexandre, amusé.

[Anonyme]

> Ben moi je donne une autre solution :
[...]

> donc int(abs(P),x=0..1)>0
>
> J'ai bon ?

Jusque là, oui. Mais le but étant de montrer que inf ( int(abs(P), sur
[0,1]) > 0, cela m'étonnerait que tu y arrives par cette méthode. Tu ne
pourras pas minorer toutes tes intégrales par une même constante >0.
--
Jérôme

[Anonyme]

AG wrote:
> donc int(abs(P),x=0..1)>0
> J'ai bon ?

Tu as juste montré que l'intégrale d'une fonction positive et non nulle est
strictement positive...ce qu'on sait déjà en Spé

Osiris

[Anonyme]

On Thu, 13 Nov 2003 11:15:41 +0100, Osiris wrote:
>
>
>AG wrote:[color=green]
>> donc int(abs(P),x=0..1)>0
>> J'ai bon ?
>
>Tu as juste montré que l'intégrale d'une fonction positive et non nulle est
>strictement positive...ce qu'on sait déjà en Spé [/color]

Enfin, bon, pour chipoter, on sait en Spe que ce n'est pas le cas, a moins
de supposer en plus la fonction continue...

[Anonyme]

> Jusque là, oui. Mais le but étant de montrer que inf ( int(abs(P), sur
> [0,1]) > 0, cela m'étonnerait que tu y arrives par cette méthode.
Effectivement, je retourne me coucher.



> Tu ne
> pourras pas minorer toutes tes intégrales par une même constante >0.
Pourtant il en existe une. Pourquoi ne pourrais-je pas la trouver ?

[Anonyme]

> > Tu ne[color=green]
> > pourras pas minorer toutes tes intégrales par une même constante >0.
> Pourtant il en existe une. Pourquoi ne pourrais-je pas la trouver ?[/color]

Par ce que ton raisonnement utilise uniquement le fait que P est non nul. Il
serait valable également pour les polynômes constants = 1/n par exemple,
alors que la borne inf des intégrales de 1/n sur [0,1] est nulle.

[Anonyme]

Frederic wrote:[color=green]
>>Tu as juste montré que l'intégrale d'une fonction positive et non nulle est
>>strictement positive...ce qu'on sait déjà en Spé
>
> Enfin, bon, pour chipoter, on sait en Spe que ce n'est pas le cas, a moins
> de supposer en plus la fonction continue...[/color]

OK,je sors

[Anonyme]

> Par ce que ton raisonnement utilise uniquement le fait que P est non nul. Il
> serait valable également pour les polynômes constants = 1/n par exemple,
> alors que la borne inf des intégrales de 1/n sur [0,1] est nulle.

Ok, je comprends. Cela dit ça veut juste dire que je n'utilise pas tout
les hypothèses. En utilisant les hypothèse manquantes (genre le degrés
du polynome, et le fait qu'il soit unitaire), cela reste donc possible.

[Anonyme]

"Ecce santiago" a écrit

> Elle utilise l'equivalence des normes en dimension
> finie (alors qu'on croyait que ce theoreme ne servait à rien).

Euh... Toi peut-être...

--
Maxi