Borne inférieure de complexes

[Anonyme]

Bonjour,

Je rencontre à nouveau un petit problème avec :

On considère n complexes tous non nuls.
On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1<=k<=n.

On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.

Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).


Je ne vois pas comment m'y prendre.
Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?

D'avance merci.

Iulius

[Anonyme]

Iulius a écrit:
> Bonjour,
>
> Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
>
> On considère n complexes tous non nuls.
> On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1
> On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
>
> Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
>
>
> Je ne vois pas comment m'y prendre.
> Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?

Essaie de 'voir' ce que cela veut dire géométriquement.

[Anonyme]

Tiens, voilà un problème qui a l'air amusant (même si je ne sais pas le
résoudre).

Le 05/10/2004 14:08, Iulius a écrit :
>
> On considère n complexes tous non nuls.
> On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1 On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.

Pour n = 2, cela veut dire que e^(i.b_1) = - e^(i.b_2), c'est-à-dire
qu'ils sont représentés par deux segments formant des angles de pi.

Pour n = 3, cela veut dire que les e^(i.b_k) sont représentés par trois
segments formant des angles de 2.pi/3

Est-ce que l'on peut généraliser le résultat pour tout n ? Comment on le
prouve ? Ah, non, on ne peut pas : pour n = 4, il suffit de les prendre
opposés deux à deux, par exemple { b_k } = { 0, pi, c, c+pi } avec c une
constante quelconque.

> Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
>
> Je ne vois pas comment m'y prendre.

Moi non plus.

[Anonyme]

On Tue, 05 Oct 2004 14:08:53 +0200, Iulius
wrote:

>Bonjour,
>
>Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
>
>On considère n complexes tous non nuls.
>On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1
>On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
>
>Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
>
>
>Je ne vois pas comment m'y prendre.
>Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?
c'est certainement en rapport avec le fait que la fonction à minimiser
est convexe :
c'est peu mais j'ai pas mieux
>D'avance merci.
>
>Iulius

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Je vais essayer de voir ce que je puis faire
avec les conseils que vous m'avez donnés.
Je vous remercie en tout cas pour vos réponses.

Iulius

[Anonyme]

Le 08/10/2004 15:17, Iulius a écrit :

> Je vais essayer de voir ce que je puis faire
> avec les conseils que vous m'avez donnés.

Si tu trouves, tu viens publier ta réponse ici ? J'ai l'impression que
la borne inférieure est atteinte pour z=0 -- en tout cas c'était vrai
pour les exemples simplistes que j'ai essayés -- mais je ne peux pas le
prouver en toute généralité.

[Anonyme]

On Tue, 05 Oct 2004 14:08:53 +0200, Iulius
wrote:

>Bonjour,
>
>Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
>
>On considère n complexes tous non nuls.
>On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1
>On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
>
>Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
>
>
>Je ne vois pas comment m'y prendre.
>Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?
>
>D'avance merci.
oui comme cela vient d'être dit l'inf est obtenu en z=0
(mais il peut être réalisé ailleurs si les points sont alignés :
c'est obligé si n=2 , ca peut être vrai si n=4 )
d'ailleurs si n=2 le min est réalisé pour tout z situé sur le segment
[z1;z2] qui passe par 0

d'une façon géné
les 2 dérivées partielles par rapport à x et à y (z=x+i*y)
de f(x,y)=sum des |z-z_k|
sont nulles, vues l'hypo sur la somme des exp
il reste à prouver qu'il y a alors mini local
et comme f est convexe ce sera un mini global
bon
faut donc calculer le fameux C^2-AB
je trouve que la dérivée partielle par rapport à xx (en 0,0) est sigma
des y_i^2/|z_i|^3
celle par rapport à xy (en 0,0) est
-sigma des x_i*y_i/|z_i|^3
j'utilise l'inégalité de Schwartz pour montrer que C^2-AB <0
cela si les points z_i ne sont pas alignés avec l'origine

si les points sont alignés avec O , soit sur une droite D
(ca ne peut se produire, je crois, que s'il y a un nb pair de points)
il suffit de chercher l'inf sur D, auquel cas on est ramené à une
expression du genre
sigma des |u-u_i| à minimiser par rapport à u réel et les u_i réels

donc ca c'est plus connu : le min est réalisé sur un des u_i ou sur un
intervalle [u_i;u_(i+1)],

selon la parité du nb de pts







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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message de news:4166c228.9244188@news.wanadoo.fr...
> On Tue, 05 Oct 2004 14:08:53 +0200, Iulius
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
> >
> >On considère n complexes tous non nuls.
> >On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1 >
> >On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
> >
> >Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
> >
> >
> >Je ne vois pas comment m'y prendre.
> >Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?
> >
> >D'avance merci.
> oui comme cela vient d'être dit l'inf est obtenu en z=0
> (mais il peut être réalisé ailleurs si les points sont alignés :
> c'est obligé si n=2 , ca peut être vrai si n=4 )
> d'ailleurs si n=2 le min est réalisé pour tout z situé sur le segment
> [z1;z2] qui passe par 0
>
> d'une façon géné
> les 2 dérivées partielles par rapport à x et à y (z=x+i*y)
> de f(x,y)=sum des |z-z_k|
> sont nulles, vues l'hypo sur la somme des exp
> il reste à prouver qu'il y a alors mini local
> et comme f est convexe ce sera un mini global
> bon
> faut donc calculer le fameux C^2-AB
> je trouve que la dérivée partielle par rapport à xx (en 0,0) est sigma
> des y_i^2/|z_i|^3
> celle par rapport à xy (en 0,0) est
> -sigma des x_i*y_i/|z_i|^3
> j'utilise l'inégalité de Schwartz pour montrer que C^2-AB cela si les points z_i ne sont pas alignés avec l'origine
>
> si les points sont alignés avec O , soit sur une droite D
> (ca ne peut se produire, je crois, que s'il y a un nb pair de points)
> il suffit de chercher l'inf sur D, auquel cas on est ramené à une
> expression du genre
> sigma des |u-u_i| à minimiser par rapport à u réel et les u_i réels
>
> donc ca c'est plus connu : le min est réalisé sur un des u_i ou sur un
> intervalle [u_i;u_(i+1)],
>
> selon la parité du nb de pts[/color]

Je reprends à ma façon..
Il faut minimiser :
sum[sqrt((x - x_k)^2 + (y - y_k)^2))]
donc effectivement annuler les dérivées partielles par rapport à x et à y :
sum[(x - x_k)/sqrt((x - x_k)^2 + (y - y_k)^2)]
sum[(y - y_k)/sqrt((x - x_k)^2 + (y - y_k)^2)]
Avec l'hypothèse que x = 0, y = 0 soit solution il faudrait :
sum[ x_k/sqrt(x_k^2 + y_k^2)] = 0 et
sum[ y_k/sqrt(x_k^2 + y_k^2)] = 0
soit, avec z_k = x_k + i *y_k = a_k*exp(i*b_k)
sum[re(z_k)/a_k] = sum[re(exp(i*b_k))] = 0 et
sum[im(z_k)/a_k] = sum[im(exp(i*b_k))] = 0
Or on a la donnée :
sum[exp(i*b_k)] = 0
donc que les deux parties, réelle et imaginaire, de cette expression, sont
nulles.
C'est donc bien le point z = 0 qui minimise la somme demandée.

A.J.

[Anonyme]

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message de news:4166c228.9244188@news.wanadoo.fr...
> On Tue, 05 Oct 2004 14:08:53 +0200, Iulius
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
> >
> >On considère n complexes tous non nuls.
> >On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1 >
> >On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
> >
> >Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
> >
> >
> >Je ne vois pas comment m'y prendre.
> >Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?
> >
> >D'avance merci.
> oui comme cela vient d'être dit l'inf est obtenu en z=0
> (mais il peut être réalisé ailleurs si les points sont alignés :
> c'est obligé si n=2 , ca peut être vrai si n=4 )
> d'ailleurs si n=2 le min est réalisé pour tout z situé sur le segment
> [z1;z2] qui passe par 0
>
> d'une façon géné
> les 2 dérivées partielles par rapport à x et à y (z=x+i*y)
> de f(x,y)=sum des |z-z_k|
> sont nulles, vues l'hypo sur la somme des exp
> il reste à prouver qu'il y a alors mini local
> et comme f est convexe ce sera un mini global
> bon
> faut donc calculer le fameux C^2-AB
> je trouve que la dérivée partielle par rapport à xx (en 0,0) est sigma
> des y_i^2/|z_i|^3
> celle par rapport à xy (en 0,0) est
> -sigma des x_i*y_i/|z_i|^3
> j'utilise l'inégalité de Schwartz pour montrer que C^2-AB cela si les points z_i ne sont pas alignés avec l'origine
>
> si les points sont alignés avec O , soit sur une droite D
> (ca ne peut se produire, je crois, que s'il y a un nb pair de points)
> il suffit de chercher l'inf sur D, auquel cas on est ramené à une
> expression du genre
> sigma des |u-u_i| à minimiser par rapport à u réel et les u_i réels
>
> donc ca c'est plus connu : le min est réalisé sur un des u_i ou sur un
> intervalle [u_i;u_(i+1)],
>
> selon la parité du nb de pts[/color]

Je reprends à ma façon..
Il faut minimiser :
sum[sqrt((x - x_k)^2 + (y - y_k)^2))]
donc effectivement annuler les dérivées partielles par rapport à x et à y :
sum[(x - x_k)/sqrt((x - x_k)^2 + (y - y_k)^2)]
sum[(y - y_k)/sqrt((x - x_k)^2 + (y - y_k)^2)]
Avec l'hypothèse que x = 0, y = 0 soit solution il faudrait :
sum[ x_k/sqrt(x_k^2 + y_k^2)] = 0 et
sum[ y_k/sqrt(x_k^2 + y_k^2)] = 0
soit, avec z_k = x_k + i *y_k = a_k*exp(i*b_k)
sum[re(z_k)/a_k] = sum[re(exp(i*b_k))] = 0 et
sum[im(z_k)/a_k] = sum[im(exp(i*b_k))] = 0
Or on a la donnée :
sum[exp(i*b_k)] = 0
donc que les deux parties, réelle et imaginaire, de cette expression, sont
nulles.
C'est donc bien le point z = 0 qui minimise la somme demandée.

A.J.

[Anonyme]

En réponse à Marc,

> faut donc calculer le fameux C^2-AB

Vous utilisez donc une hessienne. D'accord.
C'est une excellente idée, qui marche très bien.



> j'utilise l'inégalité de Schwartz pour montrer que C^2-AB cela si les points z_i ne sont pas alignés avec l'origine

Oui. Au fait, si on a l'égalité dans Schwartz, cela veut dire
que les z_k = x_k + i.y_k = a_k*e^(i*b_k) sont tels que
x_k = l * y_k (proportionnalité)
d'où z_k = y_k (l + i).
l + i = a_k/y_k*e^(i*b_k) si y_k non nul
et le rapport a_k/y_k est constant, noté m.
Alors e^(i*b_k) = (l + i)/m donne que les b_k sont tous égaux
modulo 2pi.
Cela contredit alors le fait que la somme des exponentielles est
nulle. Ce cas ne se produit pas et on a en conséquence l'inégalité
stricte dans Schwartz.
Le déterminant de la hessienne AB-C^2 > 0.
On a bien un minimum local, qui est global en vertu de la convexité
de la fonction.

Iulius

[Anonyme]

En réponse à A.J. :

> Je reprends à ma façon..
> donc effectivement annuler les dérivées partielles par rapport à x et à y :
> C'est donc bien le point z = 0 qui minimise la somme demandée.

Cela ne suffit pas. Il faut aussi calculer le déterminant de la hessienne
de la fonction, comme l'a fait Marc.

En un extremum, les dérivées partielles sont nulles.
La réciproque est fausse : les dérivées partielles peuvent être nulles
sans que l'on soit sur un extremum.
Pensez à x -> x^3 qui n'a pas d'extremum local en 0.

Iulius

[Anonyme]

On Sun, 10 Oct 2004 16:21:58 +0200, Iulius
wrote:

>En réponse à Marc,
non moi c'est alain ; marc est le prénom de mon fils et
c'est lui qui avait filé ses coordonnées lorqu'on s'est relié à
internet
mais c'est pas grave ca me rajeunit.....[color=green]
>> faut donc calculer le fameux C^2-AB
>
>Vous utilisez donc une hessienne. D'accord.
>C'est une excellente idée, qui marche très bien.
>
>
>
>> j'utilise l'inégalité de Schwartz pour montrer que C^2-AB > cela si les points z_i ne sont pas alignés avec l'origine
>
>Oui. Au fait, si on a l'égalité dans Schwartz, cela veut dire
>que les z_k = x_k + i.y_k = a_k*e^(i*b_k) sont tels que
>x_k = l * y_k (proportionnalité)
>d'où z_k = y_k (l + i).
>l + i = a_k/y_k*e^(i*b_k) si y_k non nul
>et le rapport a_k/y_k est constant, noté m.[/color]
pourquoi ? car y_k lui n'est pas forcément positif
d'ailleurs considère
z_1=a_1exp(b)
z_2=a_2exp(b)
z_3=a_3exp(b+pi)
z_4=a_4exp(b+pi)
la somme des 4 exp est bien nulle
et les points sont alignés avec l'origine
et x_i/y_i = constante ;
si tu n'es pas d'accord n'hésite pas à revenir
>Alors e^(i*b_k) = (l + i)/m donne que les b_k sont tous égaux
>modulo 2pi.
>Cela contredit alors le fait que la somme des exponentielles est
>nulle. Ce cas ne se produit pas et on a en conséquence l'inégalité
>stricte dans Schwartz.
>Le déterminant de la hessienne AB-C^2 > 0.
>On a bien un minimum local, qui est global en vertu de la convexité
>de la fonction.
>
>Iulius

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

On Sun, 10 Oct 2004 16:23:59 +0200, Iulius
wrote:

>En réponse à A.J. :
>[color=green]
>> Je reprends à ma façon..
>> donc effectivement annuler les dérivées partielles par rapport à x et à y :
>> C'est donc bien le point z = 0 qui minimise la somme demandée.
>
>Cela ne suffit pas. Il faut aussi calculer le déterminant de la hessienne
>de la fonction, comme l'a fait Marc.[/color]
non alain , bis
>En un extremum, les dérivées partielles sont nulles.
>La réciproque est fausse : les dérivées partielles peuvent être nulles
>sans que l'on soit sur un extremum.
>Pensez à x -> x^3 qui n'a pas d'extremum local en 0.
>
oui mais ici la fonction est convexe
et il y a un th qui dit
si f convexe , différentiable en a de différentielle nulle
(c'est le cas ici)
alors il y a mini global en a !!!
donc en fait AJ a raison
personnellement je n'ai pensé qu' à cette histoire de min local=min
global pour une fonction convexe
mais le th ci-dessus est beaucoup plus intéressant pour ton exo ;
mais si tu ne l'as pas vu en cours il faut faire sans, donc faire
comme j'ai fait

Rem : le th n'est pas trop compliqué à montrer c'est un exo du Ramis
ANAlyse 2 Masson

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[Anonyme]

Il y a eu de nombreuses réponses, avec comme mots-clés : inégalité de
Schwarz, hessienne, fonction convexe, dérivées partielles...

Bon, en fait c'était d'un niveau trop élevé pour moi. C'est en quelle
classe ?

[Anonyme]

Il est intéressant de voir aussi ce que cela donne sur le plan géomètrique.
La condition : sum(e^i*b_k) = 0 implique que la somme des vecteurs unitaires
portés par les droites reliant le point cherché aux différents sommets z_k
d'un polygone est nulle.
Pour un triangle, le point cherché, dit de Torricelli, est tel que les
segments le liant aux sommets font un angle de 2*pi/3 entre eux.
Pour un quadrilatère, c'est simplement l'intersection des diagonales qui
assure l'annulation, 2 par 2, des vecteurs unitaires.
Au-delà, c'est moins évident.
Mais on peut voir la réciproque. Sans s'imposer la condition sum(e^i*b_k =
0), si on recherche le minimum de sum(|z - z_k|), on doit avoir :
sum((z - z_k)/|z - z_k|) = 0
Une fois le point cherché obtenu, si on y fixe une nouvelle origine des
coordonnées, donc avec z = 0, la condition se résume à sum(e^i*b_k) = 0.
Ce qui veut dire que la condition posée dans le problème ne concerne pas des
polygones très particuliers, mais est générale pour tout polygone.
Le point correspondant au minimum de la somme des distances aux sommets d'un
polygone est aussi celui à partir duquel la somme des vecteurs unitaires
portés par les droites liant ce point aux sommets est nulle.

A.J.

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message de news:41642ccf.7646557@news.wanadoo.fr...
> On Tue, 05 Oct 2004 14:08:53 +0200, Iulius
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
> >
> >On considère n complexes tous non nuls.
> >On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1 >
> >On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
> >
> >Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
> >
> >
> >Je ne vois pas comment m'y prendre.
> >Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?
> c'est certainement en rapport avec le fait que la fonction à minimiser
> est convexe :
> c'est peu mais j'ai pas mieux
> >D'avance merci.
> >
> >Iulius
>
> *****************
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
> *****************[/color]

[Anonyme]

"A.J." a écrit dans le message de
news:416b8f04$0$8644$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Il est intéressant de voir aussi ce que cela donne sur le plan
géomètrique.
> La condition : sum(e^i*b_k) = 0 implique que la somme des vecteurs
unitaires
> portés par les droites reliant le point cherché aux différents sommets z_k
> d'un polygone est nulle.
> Pour un triangle, le point cherché, dit de Torricelli, est tel que les
> segments le liant aux sommets font un angle de 2*pi/3 entre eux.
> Pour un quadrilatère, c'est simplement l'intersection des diagonales qui
> assure l'annulation, 2 par 2, des vecteurs unitaires.
> Au-delà, c'est moins évident.
> Mais on peut voir la réciproque. Sans s'imposer la condition sum(e^i*b_k
=
> 0), si on recherche le minimum de sum(|z - z_k|), on doit avoir :
> sum((z - z_k)/|z - z_k|) = 0
> Une fois le point cherché obtenu, si on y fixe une nouvelle origine des
> coordonnées, donc avec z = 0, la condition se résume à sum(e^i*b_k) = 0.
> Ce qui veut dire que la condition posée dans le problème ne concerne pas
des
> polygones très particuliers, mais est générale pour tout polygone.
> Le point correspondant au minimum de la somme des distances aux sommets
d'un
> polygone est aussi celui à partir duquel la somme des vecteurs unitaires
> portés par les droites liant ce point aux sommets est nulle.
>
> A.J.

Excusez-moi ! La conclusion sur la généralité me parait fausse, car dans le
changement de coordonnées les z_k sont changés en des (z_k)' différents.
N'en tenez donc pas compte.

A.J.

> "Marc Pichereau" a écrit dans
le
> message de news:41642ccf.7646557@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > On Tue, 05 Oct 2004 14:08:53 +0200, Iulius
> > wrote:
> >[color=darkred]
> > >Bonjour,
> > >
> > >Je rencontre à nouveau un petit problème avec :
> > >
> > >On considère n complexes tous non nuls.
> > >On les note z_k = a_k*e^(i*b_k) pour 1 > >
> > >On suppose sum(e^(i*b_k),k,1,n) = 0.
> > >
> > >Déterminer inf (sum(|z - z_k|,k,1,n), z complexe).
> > >
> > >
> > >Je ne vois pas comment m'y prendre.
> > >Auriez-vous une indication pour démarrer l'exercice ?
> > c'est certainement en rapport avec le fait que la fonction à minimiser
> > est convexe :
> > c'est peu mais j'ai pas mieux
> > >D'avance merci.
> > >
> > >Iulius
> >
> > *****************
> > http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> > ( olympiades mathématiques 1ère S )
> > *****************[/color]
>
>
>[/color]

[Anonyme]

En réponse à Olivier,

> Il y a eu de nombreuses réponses, avec comme mots-clés : inégalité de
> Schwarz, hessienne, fonction convexe, dérivées partielles...
>
> Bon, en fait c'était d'un niveau trop élevé pour moi. C'est en quelle
> classe ?

C'est niveau sup/spé.

Mais, j'ai trouvé depuis une solution plus courte, et qui vous sera
sûrement plus accessible :


somme |z-z_k| = somme |e^(-i*b_k)*(z-z_k)|
>= |somme (e^(-i*b_k)*(z-z_k))|
par inégalité triangulaire

et :

|somme (e^(-i*b_k)*(z-z_k))| = |somme (e^(-i*b_k)*z - a_k)|

Le premier terme est nul, par hypothèse sur la somme des exponentielles.
Il reste donc :

|somme a_k| = somme |z_k|

Ainsi :

somme |z-z_k| >= somme |z_k|


Et l'égalité est atteinte pour z = 0.

Cela montre donc que la borne inférieure cherchée est somme |z_k|.

Iulius

[Anonyme]

> "A.J." a écrit dans le message de
> news:416b8f04$0$8644$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Il est intéressant de voir aussi ce que cela donne sur le plan
> géomètrique.
> > La condition : sum(e^i*b_k) = 0 implique que la somme des vecteurs
> unitaires
> > portés par les droites reliant le point cherché aux différents sommets[/color]
z_k[color=green]
> > d'un polygone est nulle.
> > Pour un triangle, le point cherché, dit de Torricelli, est tel que les
> > segments le liant aux sommets font un angle de 2*pi/3 entre eux.
> > Pour un quadrilatère, c'est simplement l'intersection des diagonales qui
> > assure l'annulation, 2 par 2, des vecteurs unitaires.
> > Au-delà, c'est moins évident.
> > Mais on peut voir la réciproque. Sans s'imposer la condition[/color]
sum(e^i*b_k
> =[color=green]
> > 0), si on recherche le minimum de sum(|z - z_k|), on doit avoir :
> > sum((z - z_k)/|z - z_k|) = 0
> > Une fois le point cherché obtenu, si on y fixe une nouvelle origine des
> > coordonnées, donc avec z = 0, la condition se résume à sum(e^i*b_k) = 0.
> > Ce qui veut dire que la condition posée dans le problème ne concerne pas
> des
> > polygones très particuliers, mais est générale pour tout polygone.
> > Le point correspondant au minimum de la somme des distances aux sommets
> d'un
> > polygone est aussi celui à partir duquel la somme des vecteurs unitaires
> > portés par les droites liant ce point aux sommets est nulle.
> >
> > A.J.
>
> Excusez-moi ! La conclusion sur la généralité me parait fausse, car dans[/color]
le
> changement de coordonnées les z_k sont changés en des (z_k)' différents.
> N'en tenez donc pas compte.
>
> A.J.

Mais si c'est valable ! (Ah! la sénilité !...)
Les nouvelles coordonnées, avec des ('), puisque :
z' = 0
donnent pour le minimum :
sum(z'_k/|z'_k) = sum(e^i*b'_k) = 0
d'où toujours la conclusion sur la somme des vecteurs unitaires issus de ce
point.

A.J.

[Anonyme]

On Tue, 12 Oct 2004 14:32:18 +0200, Iulius
wrote:

>En réponse à Olivier,
>[color=green]
>> Il y a eu de nombreuses réponses, avec comme mots-clés : inégalité de
>> Schwarz, hessienne, fonction convexe, dérivées partielles...
>>
>> Bon, en fait c'était d'un niveau trop élevé pour moi. C'est en quelle
>> classe ?
>
>C'est niveau sup/spé.
>
>Mais, j'ai trouvé depuis une solution plus courte, et qui vous sera
>sûrement plus accessible :
>
>
>somme |z-z_k| = somme |e^(-i*b_k)*(z-z_k)|
> >= |somme (e^(-i*b_k)*(z-z_k))|
>par inégalité triangulaire
>
>et :
>
>|somme (e^(-i*b_k)*(z-z_k))| = |somme (e^(-i*b_k)*z - a_k)|
>
>Le premier terme est nul, par hypothèse sur la somme des exponentielles.
>Il reste donc :
>
>|somme a_k| = somme |z_k|
>
>Ainsi :
>
>somme |z-z_k| >= somme |z_k|
>
>
>Et l'égalité est atteinte pour z = 0.
>
>Cela montre donc que la borne inférieure cherchée est somme |z_k|.
>
>Iulius[/color]
oui c'est joli
je me doutais qu'il devait y avoir une solution astucieuse ..

mais en fait il y a toute une théorie générale sur la minimisation de
f(x)=sigma des k_i||x-a_i|| avec k_i réels >0, x et a_i dans R^n n>=2

en supposant que les a_i ne sont pas contenus dans un sous-espace
affine propre on a :
soit il existe a tel que gradf=0 et le min est f(a)
soit il n'existe pas a tel que gradf=0 et minf = min des f(a_i)

c'est pour cela que je suis parti sur le gardient en essayant de le
justifier directement

[Anonyme]

Le 12/10/2004 14:32, Iulius a écrit :[color=green]
>>
>> Bon, en fait c'était d'un niveau trop élevé pour moi. C'est en quelle
>> classe ?
>
> C'est niveau sup/spé.[/color]

Je suis passé par là, mais j'ai tout oublié, j'en ai peur...

> Mais, j'ai trouvé depuis une solution plus courte, et qui vous sera
> sûrement plus accessible :
>
> [...]
>
> Et l'égalité est atteinte pour z = 0.

Excellent ! En effet, c'est beaucoup plus accessible, et très joli qui
plus est. Merci.