Base de topologie

[Anonyme]

Bonjour
Je bloque sur la première question d'un exercice :
Montrer que l'ensemble { m + n.Z, avec m dans Z et n dans lN* } est une
base de topologie sur Z.

Je précise ma définition d'une base de topologie, car j'ai vu des
définitions différentes dans des livres.
U est une base de topologie sur X si :
1/ tout élément de X appartient à au moins un élément de U
2/ si je prends deux ouverts dans U non disjoints, U1 et U2, alors pour
tout x dans (U1 inter U2), il existe U3 ouvert de ma base tel que x est
dans U3 et U3 est inclus dans (U1 inter U2).

Il est clair que pour tout m dans Z, m est dans m+1.Z par exemple ce
qui prouve le 1/ de ma définition.

Pour 2/, si on prend m+nZ et m'+n'Z deux ouverts de la base et k dans
l'intersection de ces deux ouverts, alors on peut écrire k = m+xn =
m'+yn' où x et y dans deux entiers relatifs.
Je ne vois pas comment m'en sortir avec ça... il y a sûrement une
histoire de pgcd ou ppcm mais je ne trouve pas.

Merci de votre aide.

[Anonyme]

Romain M wrote:
> Bonjour
> Je bloque sur la première question d'un exercice :
> Montrer que l'ensemble { m + n.Z, avec m dans Z et n dans lN* } est une
> base de topologie sur Z.
>
> Je précise ma définition d'une base de topologie, car j'ai vu des
> définitions différentes dans des livres.
> U est une base de topologie sur X si :
> 1/ tout élément de X appartient à au moins un élément de U
> 2/ si je prends deux ouverts dans U non disjoints, U1 et U2, alors pour
> tout x dans (U1 inter U2), il existe U3 ouvert de ma base tel que x est
> dans U3 et U3 est inclus dans (U1 inter U2).
>
> Il est clair que pour tout m dans Z, m est dans m+1.Z par exemple ce qui
> prouve le 1/ de ma définition.
>
> Pour 2/, si on prend m+nZ et m'+n'Z deux ouverts de la base et k dans
> l'intersection de ces deux ouverts, alors on peut écrire k = m+xn =
> m'+yn' où x et y dans deux entiers relatifs.

Ecrivons U(m, n) pour m + nZ

Question : si U(m, n) = U(M, N) que peut-on dire de M et N ? Que
vérifient m, M ?

Si x appartient à U(m, n) et U(m', n'), n'y a-t-il pas moyen de
remplacer m et m' par quelquechose kivabien ?

> Je ne vois pas comment m'en sortir avec ça... il y a sûrement une
> histoire de pgcd ou ppcm mais je ne trouve pas.

Pas besoin.

> Merci de votre aide.

Insiste si ça ne suffit pas.

Hib.

[Anonyme]

Hibernatus a présenté l'énoncé suivant :
> Si x appartient à U(m, n) et U(m', n'), n'y a-t-il pas moyen de remplacer m
> et m' par quelquechose kivabien ?

On peut se ramener à m dans [0,n-1] et m' dans [0,n'-1].

> Insiste si ça ne suffit pas.

Oui je veux bien un peu d'aide supplémentaire.

[Anonyme]

Romain M wrote:
> Hibernatus a présenté l'énoncé suivant :
>[color=green]
>> Si x appartient à U(m, n) et U(m', n'), n'y a-t-il pas moyen de
>> remplacer m et m' par quelquechose kivabien ?
>
> On peut se ramener à m dans [0,n-1] et m' dans [0,n'-1].[/color]

Oui, et même mieux :

Si x appartient à U(m, n), alors x = m + kn donc m = x - kn. Donc tout
élément y de U(m, n) s'écrit m + k'n = x + (k' - k)n.

Du coup, U(m, n) = U(x, n).

Retour au problème : x appartient à U(m, n) *et* U(m', n'). Donc U(m, n)
= U(x, n), et U(m', n')...

On cherche U(M, N) contenant x et contenu dans chacun des deux U
ci-dessus. M peut-être choisi facilement maintenant.

Les éléments y de U(m, n) (donc de U(x, n) !!!) sont caractérisés par
n | y - x.

Comment caractériser ceux de U(m', n') ?

....

Allez, je m'arrête là pour l'instant. Tu as tout en main.

[Anonyme]

Hibernatus a émis l'idée suivante :
> Les éléments y de U(m, n) (donc de U(x, n) !!!) sont caractérisés par
> n | y - x.
>
> Comment caractériser ceux de U(m', n') ?

Si je prends y dans U(x,n*n'), alors n*n' | y-x
donc n | y-x et n' | y-x,
donc y est dans U(x,n)=U(m,n) et aussi dans U(x,n')=U(m',n').
Et on a également : x est dans U(x,n*n').
M=x et N=n*n' conviennent donc.

Merci beaucoup.