Barycentre 1S

[Anonyme]

Bonjour, G un gros problème avec cet exercice. Si quelqu;)un pourrait
m;)aider sa serait vraiment sympathique.

ABC est un triangle. On note :
BC = a, CA =b et AB=c
L;)objectif de ce problème est de trouver des réels alpha, beta, gama
affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, ou
de l;)orthocentre H de ABC, soit barycentre des sommets.

A) A;) est le pied de la bissectrice de l;)angle
BAC,A;)estdonc équidistant des côtés de l;)angle (propriété
caractéristique des points de la bissectrice). On note d cette distance,
et h la longueur de la hauteur issue de A.
1-a) Exprimez les aires des triangles AA;)B et AA;)C de deux
façons différentes.
b) Déduisez-en A;)B/A;)C = c/b
2-Prouvez que A;) est le barycentre de (B,b), (C,c).
3-B;) et C;) sont les pieds des bissectrices de ABC et ACB.
Exprimez B;) comme barycentre de C et A d;)une part, et C;)
comme barycentre de A et B d;)autre part.
4-Démontrez que le point I est le barycentre de (A,a) (B,b) et (C,c).

B) Pour la démonstration, on se place uniquement dans le cas où les angles
de ABC sont tous aigus.
1-a) Prouvez que KB/KC = tan (tangente) C/ tan B
b)Justifiez que K, pied de la hauteur issue de A, est le barycentre de
(B, tan B)(C, tan C).
2- Donnez des résultats analogues pour les pieds L et M des hauteurs
issues de B et C.
3- Prouvez par une méthode analogue à celle de la partie A que
l;)orthocentre est le barycentre de (A, tan A), (B, tan B) et (C, tan
C).


MERCI D;)AVANCE.