Arithmétique

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

Voilà, j'ai une petite question d'arithmétique :

comment sait-on à l'avance que la division d'un entier par un autre va produire un nombre
dont les décimales (y compris le zéro) seront forcément périodiques à partir d'un certain
rang ?

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur le sujet, ce serait bien sympa.

Remarque : je sais que, étant donné un nombre N à décimales périodiques, il est possible
de trouver, grâce à une méthode bien connue en arithmétique et que j'appellerai "la
méthode M", des entiers p et q tels que N=p/q. Mais ça, c'est le problème inverse.

Pour résoudre le problème initial, j'ai bien essayé ceci (mais ça ne me satisfait pas) :
je démontre :
1) si N est un nombre à décimales périodiques, alors on peut, par "la méthode M", trouver
p et q tels que N=p/q

2) si N n'est pas un nombre à décimales périodiques, alors on ne peut pas, par "la méthode
M", trouver p et q tels que N=p/q (mais, en fait, rien ne dit qu'on ne puisse pas les
trouver par une autre méthode)

ce qui, si j'ai bien retenu ma leçon sur la contraposition reçue sur ce même NG, revient à
avoir démontré :
si on peut, par "la méthode M", trouver p et q tels que N=p/q, alors N est un nombre à
décimales périodiques.

Si ça ne tenait qu'à moi, je laisserais tomber, dans cette dernière proposition, le "par
la méthode M", et j'aurais obtenu la démonstration que je cherche. Mais est-ce faisable du
point de vue logique ?

Merci d'avance pour vos conseils. Et Bonne Année 2004 à toutes et à tous !

Gibbs.

[Anonyme]

On Sun, 4 Jan 2004 18:38:45 +0100, "Gibbs"
wrote:

>Bonjour à toutes et à tous,
>
>Voilà, j'ai une petite question d'arithmétique :
>
>comment sait-on à l'avance que la division d'un entier par un autre va produire un nombre
>dont les décimales (y compris le zéro) seront forcément périodiques à partir d'un certain
>rang ?
>
a et b 2 entiers
on veut montrer que le dévelo décimal de a/b est périodique
"en gros" :
a=b*m+r
10r=b*d1+r1
10r1=b*d2+r2
10r2=b*d3+r3
etc
r et tous les ri sont dans {0;1; ;b-1}

je te laisse vérifier que les di vont être les chiffres du dévelo
décimal
(ils sont dans {0;1;2;...;9}
et a/b=m+d1/10+d2/100+....+dn/10^n+rn/(b*10^n))
cf les valeurs possibles des ri sont en nb fini il existe
n>=1 et p>=1 tels que
r_n=r_(n+p)
or les d_k pour k>=j+1 ne dépendent que de r_j (et b)
donc les d_i obtenus après r_(n+p) seront les mêmes que ceux obtenus
après r_n : le dévelo est périodique à partir du rang n
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Pichereau Alain

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

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[Anonyme]

Pose la division de 1 par 7 comme les petits élèves de primaire, et tu
seras Eclairé.

[Anonyme]

bonsoir,

si je comprends bien, ça vient d'une propriété de la division euclidienne (?!?) :

le reste "r" de la division euclidienne de a par b étant compris entre 0 et b (et plus
petit que b)(mais quand même multiplié par 10, quand on "abaisse un 0"), forcément, à un
moment donné plus ou moins long, on aura épuisé toutes les possibilités de valeurs de r et
on retombera sur une valeur de r déjà rencontrée, rendant périodiques les décimales. (là,
je ne sais pas si je suis clair).

C'est bien ça ?

Gibbs.

"Xavier Caruso" a écrit dans le message news:
bt9nj9$28ti$1@nef.ens.fr...
> Pose la division de 1 par 7 comme les petits élèves de primaire, et tu
> seras Eclairé.

[Anonyme]

"Gibbs" , dans le message (fr.education.entraide.maths:52441), a écrit :
> C'est bien ça ?

Oui.