Aires et triangles...

[Anonyme]

Salut à tous,
Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens mathématiques
élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais est-ce bien possible?).
Avec un petit dessin, c'est très clair: j'essaie de vous décrire la figure.
ABC est un triangle,
P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un petit
triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et BQ.
Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du triangle IJK?

J'ai une démonstration faisant intervenir les barycentres. N'y a-t-il pas
quelque chose de plus simple?
Cordialement,
Christian Vassard

[Anonyme]

Christian Vassard :

> J'ai une démonstration faisant intervenir les barycentres. N'y
> a-t-il pas quelque chose de plus simple?

Une idée en passant :
aire(ACR) = aire(ABP) = aire(BCQ) = A/3, en voyant que les aires se
calculent avec les mêmes hauteurs.

On devrait pouvoir faire quelque chose en regardant les 6 aires qui
entourent le petit triangle, mais là j'en suis à résoudre un système
de 3 équations à 6 inconnues... :'(


Je veux bien voir la démonstration avec les barycentres par contre.

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Christian Vassard wrote:
> Salut à tous,
> Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens
> mathématiques élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais
> est-ce bien possible?). Avec un petit dessin, c'est très clair:
> j'essaie de vous décrire la figure. ABC est un triangle,
> P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
> Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
> R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
> On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un
> petit triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et
> BQ.
> Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
> triangle IJK?
>
> J'ai une démonstration faisant intervenir les barycentres. N'y a-t-il
> pas quelque chose de plus simple?

Les coordonnées (x,y) de K dans le repère (A,B,C) vérifient y= x/2 et
y=(2/3)(1-x) d'où x=4/7 et donc KP/AP=(2/3-4/7)/(2/3)=1/7. A partir de là,
c'est facile. Si on note S l'aire de ABC alors les triangles BCK, CAI et ABJ
ont donc pour aire commune S/7. En regardant le triangle ABP et si on pose
x= aire(BJK), on voit que
S/7+x+S/21=S/3 d'où x=S/7 : les 6 triangles qui entourent IJK ont pour aire
S/7. Donc aire(IJK)=S/7.

Pascal.

[Anonyme]

Christian Vassard a écrit:
> Salut à tous,
> Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens mathématiques
> élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais est-ce bien possible?).
> Avec un petit dessin, c'est très clair: j'essaie de vous décrire la figure.
> ABC est un triangle,
> P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
> Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
> R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
> On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un petit
> triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et BQ.
> Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du triangle IJK?
>
> J'ai une démonstration faisant intervenir les barycentres. N'y a-t-il pas
> quelque chose de plus simple?
> Cordialement,
> Christian Vassard

Piste ? le théorème de Thalés est basé sur le fait que le rapport des
aires de APC et de ABC sont dans le rapport AP/AB. Donc les trois aires
'enlevées ' à l'aire de ABC sont égales et valent chacune 1/3 de l'aire
de ABC. Les aires des triangles AJP, CIQ et BPK sont dans ce calcul
'enlevées' chacune 2 fois; C'est une piste, mais je suis arrété là...

[Anonyme]

Bonjour,

Paul Delannoy a écrit:
> Christian Vassard a écrit:
>[color=green]
>> Salut à tous,
>> Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens mathématiques
>> élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais est-ce bien
>> possible?).
>> Avec un petit dessin, c'est très clair: j'essaie de vous décrire la
>> figure.
>> ABC est un triangle,
>> P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
>> Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
>> R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
>> On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un petit
>> triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et BQ.
>> Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
>> triangle IJK?[/color]
[...]
> Piste ? le théorème de Thalés est basé sur le fait que le rapport des
> aires de APC et de ABC sont dans le rapport AP/AB. Donc les trois aires

Hein ????
c'est vrai que sans la figure jointe, il faut lire soigneusement l'énoncé !
Aire(APC)/aire(ABC) = PC/BC, AP/AB est indépendant. (P sur [BC])

> 'enlevées ' à l'aire de ABC sont égales et valent chacune 1/3 de l'aire
> de ABC. Les aires des triangles AJP, CIQ et BPK sont dans ce calcul
triangle AJP ? énoncé = J sur [AP]. C'est AJR.

> 'enlevées' chacune 2 fois; C'est une piste, mais je suis arrété là...
>
Ca donne seulement Aire(IJK) = Aire(AJR) + Aire(CIQ) + Aire(BPK)
Reste à calculer l'aire de BPK par exemple, et montrer par la méthode de
Pascal (coordonnées affines dans le repère formé par (BA,BC))
que Aire(BPK)/Aire(ABC) = Aire(BPK)/Aire(ABP) * Aire(ABP)/Aire(ABC)
= PK/AP * BP/BC = 1/7 * 1/3 = 1/21
Par permutation des sommets on obtient les aires de AJR et CIQ

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

philippe 92 a écrit:
> Bonjour,
>
> Paul Delannoy a écrit:
>[color=green]
>> Christian Vassard a écrit:
>>[color=darkred]
>>> Salut à tous,
>>> Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens mathématiques
>>> élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais est-ce bien
>>> possible?).
>>> Avec un petit dessin, c'est très clair: j'essaie de vous décrire la
>>> figure.
>>> ABC est un triangle,
>>> P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
>>> Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
>>> R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
>>> On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un
>>> petit
>>> triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et BQ.
>>> Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
>>> triangle IJK?
>>[/color]
> [...]
>
>> Piste ? le théorème de Thalés est basé sur le fait que le rapport des
>> aires de APC et de ABC sont dans le rapport AP/AB. Donc les trois aires
>
>
> Hein ????
> c'est vrai que sans la figure jointe, il faut lire soigneusement l'énoncé !
> Aire(APC)/aire(ABC) = PC/BC, AP/AB est indépendant. (P sur [BC])
>
>> 'enlevées ' à l'aire de ABC sont égales et valent chacune 1/3 de
>> l'aire de ABC. Les aires des triangles AJP, CIQ et BPK sont dans ce
>> calcul
>
> triangle AJP ? énoncé = J sur [AP]. C'est AJR.
>
>> 'enlevées' chacune 2 fois; C'est une piste, mais je suis arrété là...
>>
> Ca donne seulement Aire(IJK) = Aire(AJR) + Aire(CIQ) + Aire(BPK)
> Reste à calculer l'aire de BPK par exemple, et montrer par la méthode de
> Pascal (coordonnées affines dans le repère formé par (BA,BC))
> que Aire(BPK)/Aire(ABC) = Aire(BPK)/Aire(ABP) * Aire(ABP)/Aire(ABC)
> = PK/AP * BP/BC = 1/7 * 1/3 = 1/21
> Par permutation des sommets on obtient les aires de AJR et CIQ[/color]

Désolé pour les erreurs de notation : c'est ma figure qui était fausse.
Bravo pour la solution, et merci.

[Anonyme]

Pascal a écrit:

> Christian Vassard wrote:
>
[color=green]
>>Salut à tous,
>>Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens
>>mathématiques élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais
>>est-ce bien possible?). Avec un petit dessin, c'est très clair:
>>j'essaie de vous décrire la figure. ABC est un triangle,
>>P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
>>Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
>>R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
>>On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un
>>petit triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et
>>BQ.
>>Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
>>triangle IJK?
>>
>>J'ai une démonstration faisant intervenir les barycentres. N'y a-t-il
>>pas quelque chose de plus simple?[/color]

>
>
> Les coordonnées (x,y) de K dans le repère (A,B,C) vérifient y= x/2 et
> y=(2/3)(1-x) d'où x=4/7 et donc KP/AP=(2/3-4/7)/(2/3)=1/7. A partir
de là,
> c'est facile. Si on note S l'aire de ABC alors les triangles BCK, CAI
et ABJ
> ont donc pour aire commune S/7. En regardant le triangle ABP et si on
pose
> x= aire(BJK), on voit que
> S/7+x+S/21=S/3 d'où x=S/7 : les 6 triangles qui entourent IJK ont
pour aire
> S/7. Donc aire(IJK)=S/7.



Je ne te suis pas : ni sur les équations de droites dans un repère non
ortho, ni sur les triangles que tu considères...
et d'où sort ce S/21 ????

[Anonyme]

>>> Christian Vassard a écrit:[color=green][color=darkred]
>>>
>>>> Salut à tous,
>>>> Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens
>>>> mathématiques
>>>> élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais est-ce bien
>>>> possible?).
>>>> Avec un petit dessin, c'est très clair: j'essaie de vous décrire la
>>>> figure.
>>>> ABC est un triangle,
>>>> P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
>>>> Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
>>>> R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
>>>> On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un
>>>> petit
>>>> triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et BQ.
>>>> Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
>>>> triangle IJK?
>>>
>>>
>> [...]
>> Ca donne seulement Aire(IJK) = Aire(AJR) + Aire(CIQ) + Aire(BPK)
>> Reste à calculer l'aire de BPK par exemple, et montrer par la méthode
>> de Pascal (coordonnées affines dans le repère formé par (BA,BC))
>> que Aire(BPK)/Aire(ABC) = Aire(BPK)/Aire(ABP) * Aire(ABP)/Aire(ABC)
>> = PK/AP * BP/BC = 1/7 * 1/3 = 1/21
>> Par permutation des sommets on obtient les aires de AJR et CIQ[/color][/color]


Ca y est, j'ai pigé le truc... et même si on prend un côté divisé en n
parties, le calcul donne pour AK/AP (n^2-n)/(n^2-n+1) ... dans le cas
n=3 6/7 et il reste toujours 1/(n^2-n+1) comme fraction de AP pour la
longueur KP. Le triangle construit IJK a donc généralement pour aire
l'aire du triangle de départ divisée par (n^2-n+1) : 7, 13, 21, 31,
43,...etc..

[Anonyme]

bonjour,

Pascal a écrit:
> Christian Vassard wrote:
>[color=green]
>>Salut à tous,
>>Un petit problème que je cherche à résoudre par des moyens
>>mathématiques élémentaires, par exemple au niveau du collège (mais
>>est-ce bien possible?). Avec un petit dessin, c'est très clair:
>>j'essaie de vous décrire la figure. ABC est un triangle,
>>P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
>>Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
>>R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
>>On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un
>>petit triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et
>>BQ.
>>Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
>>triangle IJK?
>>
>>J'ai une démonstration faisant intervenir les barycentres. N'y a-t-il
>>pas quelque chose de plus simple?
>
>
> Les coordonnées (x,y) de K dans le repère (A,B,C) vérifient y= x/2 et
> y=(2/3)(1-x) d'où x=4/7 et donc KP/AP=(2/3-4/7)/(2/3)=1/7. A partir de là,
> c'est facile. Si on note S l'aire de ABC alors les triangles BCK, CAI et ABJ
> ont donc pour aire commune S/7. En regardant le triangle ABP et si on pose
> x= aire(BJK), on voit que
> S/7+x+S/21=S/3 d'où x=S/7 : les 6 triangles qui entourent IJK ont pour aire
> S/7. Donc aire(IJK)=S/7.
>
> Pascal.
>[/color]

Si on n'aime pas les calculs dans un repère affine, je viens de trouver
une démonstration élémentaire que KP/AP=1/7 :

La parallèle à AP passant par Q coupe BC en H.
Thalès donne HC/PC = QC/AC = 1/3 soit HC/BC = 2/9 et HB/BC = 7/9
HQ/PA = 1/3, HQ/PK = HB/PB = (7/9) / (1/3) = 7/3
donc AP = 7*PK.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

Paul Delannoy a écrit:[color=green][color=darkred]
>>>> Christian Vassard a écrit:[/color][/color]
[...][color=green][color=darkred]
>>>>> ABC est un triangle,
>>>>> P le point du côté [BC] tel que BP= 1/3BC,
>>>>> Q le point du côté [AC] tel que CQ= 1/3CA,
>>>>> R le point du côté [AB] tel que AR= 1/3AB.
>>>>> On trace [AP], [BQ] et [CR] qui déterminent à l'intérieur de ABC un
>>>>> petit
>>>>> triangle IJK, I étant sur BQ et CR, J sur AP et CR, K sur AP et BQ.
>>>>> Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du
>>>>> triangle IJK?
>>> [...]
>>> Ca donne seulement Aire(IJK) = Aire(AJR) + Aire(CIQ) + Aire(BPK)
>>> Reste à calculer l'aire de BPK par exemple, et montrer par la méthode
>>> de Pascal (coordonnées affines dans le repère formé par (BA,BC))
>>> que Aire(BPK)/Aire(ABC) = Aire(BPK)/Aire(ABP) * Aire(ABP)/Aire(ABC)
>>> = PK/AP * BP/BC = 1/7 * 1/3 = 1/21
>>> Par permutation des sommets on obtient les aires de AJR et CIQ
>>[/color]
>
>
> Ca y est, j'ai pigé le truc... et même si on prend un côté divisé en n
> parties, le calcul donne pour AK/AP (n^2-n)/(n^2-n+1) ... dans le cas
> n=3 6/7 et il reste toujours 1/(n^2-n+1) comme fraction de AP pour la
> longueur KP. Le triangle construit IJK a donc généralement pour aire
> l'aire du triangle de départ divisée par (n^2-n+1) : 7, 13, 21, 31,
> 43,...etc..
>[/color]
Bein non !
Aire(IJK) = Aire(AJR) + Aire(CIQ) + Aire(BPK) seulement pour n=3 !!!!
Intuitivement, si on prend n assez grand, Aire(IJK) presque égale à
aire(ABC).

AP=KP*(n^2-n+1) est bon
Mais Aire (IJK)=(ABC)-(ABP)-(BCQ)-(CAR)+(BKP)+(CIQ)+(AJR)
(ABP)=(ABC)/n, (BKP)=(ABC)*(1/n)*(1/(n^2-n+1)) etc...
(IJK)=(ABC)*(1 - 3/n + 3/n(n^2-n+1))=(ABC)*(n^2-4n+4)/(n^2-n+1)

pour n=4 : aire(IJK) = aire(ABC) * 4/13
pour n=2 on obtient... 0 et non pas 1/3
(c'est normal I=J=K=G isobarycentre)

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

"Pascal" a écrit dans le message news:
c096kd$d3a$1@news-reader1.wanadoo.fr...
les 6 triangles qui entourent IJK ont pour aire
> S/7. Donc aire(IJK)=S/7.

Bonsoir,

Avec beaucoup de retard sur tous (je suis la lanterne rouge du Newsgroup), j'ai moi aussi
trouvé que l'aire de IJK vaut 1/7 de ABC. Mais je suis étonné quand tu dis que "les 6
triangles qui entourent IJK ont pour aire S/7, d'abord parce que je ne vois pas 6
triangles mais trois triangles et trois quadrilatères convexes, et ensuite parce que, rien
qu'à l'oeil, on voit manifestement que l'aire des six figures autour de IJK ne sont pas
toutes identiques, ...à moins qu'on ne parle pas de la même chose (?)

Cordialement.

Gibbs.

[Anonyme]

"Gibbs" écrivait
news:402d1287$0$328$ba620e4c@news.skynet.be:

> Mais je suis étonné quand tu dis que "les 6 triangles qui entourent
> IJK ont pour aire S/7, d'abord parce que je ne vois pas 6 triangles
> mais trois triangles et trois quadrilatères convexes,


Les 6 triangles sont AJB, JBK, BKC, KCI, CIA et IAJ.

Pascal.