Aide: avis aux meilleurs en maths d'entre vous

[Anonyme]

Bonsoir.
Soit l'énoncé suivant :

z1, ..., zn des complexes distincts. s = max |zi-zj|. Montrer que
n * s^2/2 <= somme des |zi-zj|^2 (i<j). Montrer que l'égalité a lieu ssi
(n-2) complexes sont égaux entre eux à la moyenne arithmétique des deux
autres (hein?!).

Quelques questions :
1. Connaissez-vous cet exo?
2. A vue de nez : facile? moyen? dur?
3. Votre première stratégie de résolution? Une première idée?

Je vous laisse réflechir un peu (ceux qui connaissent la solution prière de
laisser chercher les autres), et je posterai très bientot la motivation de
ce message.

A bientot.

[Anonyme]

"ax" a écrit

> Bonsoir.
> Soit l'énoncé suivant :
>
> z1, ..., zn des complexes distincts. s = max |zi-zj|. Montrer que
> n * s^2/2 (n-2) complexes sont égaux entre eux à la moyenne arithmétique des
deux
> autres (hein?!).
>
> Quelques questions :
> 1. Connaissez-vous cet exo?

Non

> 2. A vue de nez : facile? moyen? dur?

Moyen

> 3. Votre première stratégie de résolution? Une première idée?

Faire un dessin. Etudier d'abord le cas d'égalité, puis le cas général.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

>[color=green]
> > 3. Votre première stratégie de résolution? Une première idée?
>
> Faire un dessin. Etudier d'abord le cas d'égalité, puis le cas général.[/color]

OK. Alors, comment étudier ce cas d'égalité?

[Anonyme]

"ax" a écrit
[color=green]
> > Faire un dessin. Etudier d'abord le cas d'égalité, puis le cas[/color]
général.
>
> OK. Alors, comment étudier ce cas d'égalité?

On peut supposer que z3 = ... = zn = (z1 + z2)/2 (en renumérotant au
besoin).
Alors
|z1 - z2| = s,
pour j > 2, z1 - zj = (z1 - z2)/2 et z2 - zj = (z2 - z1)/2 et donc
|z1 - zj|² = |z2 - zj|² = s²/4
et pour 2 < i < j, |zi - zj|= 0
Donc
somme(|zi - zj|², i < j) =
= |z1 - z2|² + somme(|z1 - zj|², 2 < j) + somme(|z2 - zj|², 2 < j) +
+ somme(|zi - zj|², 2 < i < j) =
= s² + (n-2) s²/4 + (n-2)s²/4 + 0 = ns²/2
L'égalité est donc vérifiée dans ce cas.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

"Stéphane Ménart" a écrit dans le message de
news:4100b89e$0$23691$79c14f64@nan-newsreader-04.noos.net...
> "ax" a écrit
>[color=green][color=darkred]
> > > Faire un dessin. Etudier d'abord le cas d'égalité, puis le cas[/color]
> général.
> >
> > OK. Alors, comment étudier ce cas d'égalité?
>
> On peut supposer que z3 = ... = zn = (z1 + z2)/2 (en renumérotant au
> besoin).
> Alors
> |z1 - z2| = s,
> pour j > 2, z1 - zj = (z1 - z2)/2 et z2 - zj = (z2 - z1)/2 et donc
> |z1 - zj|² = |z2 - zj|² = s²/4
> et pour 2 Donc
> somme(|zi - zj|², i = |z1 - z2|² + somme(|z1 - zj|², 2 + somme(|zi - zj|², 2 = s² + (n-2) s²/4 + (n-2)s²/4 + 0 = ns²/2
> L'égalité est donc vérifiée dans ce cas.[/color]

C'est ça. Ma question est : comment penser à traiter le cas d'égalité
d'abord? ça semble évident une fois qu'on y a pensé, mais comment y penser?

Ensuite, une fois qu'on a étudié ce cas, comment étudier le cas général?
Il y a en fait une "astuce" pour le cas général, qui ne m'a pas semblé
évidente. Voyez-vous laquelle? Si oui, encore une fois, comment y penser?
Faut-il connaître un catalogue "1001 astuces en maths" pour s'en sortir?

Si je pose ces questions, c'est parce que cet exo est tiré de mon oral
"Maths Ulm" à cause duquel je ne suis pas admis à cette école. J'aimerais
donc comprendre comment réagir face à un exo de ce type. On pourrait croire
que pour réussir les ENS il faut connaitre tout le programme de licence et
de maitrise par exemple (je veux dire, du hors programme). Mais dans ce cas
précis, ça ne m'aurait pas trop aidé. Je suis un peu perdu!!

[Anonyme]

"ax" a écrit

> C'est ça. Ma question est : comment penser à traiter le cas d'égalité
> d'abord? ça semble évident une fois qu'on y a pensé, mais comment y
penser?
>
> Ensuite, une fois qu'on a étudié ce cas, comment étudier le cas
général?
> Il y a en fait une "astuce" pour le cas général, qui ne m'a pas semblé
> évidente. Voyez-vous laquelle? Si oui, encore une fois, comment y
penser?
> Faut-il connaître un catalogue "1001 astuces en maths" pour s'en
sortir?
>
> Si je pose ces questions, c'est parce que cet exo est tiré de mon oral
> "Maths Ulm" à cause duquel je ne suis pas admis à cette école.
J'aimerais
> donc comprendre comment réagir face à un exo de ce type. On pourrait
croire
> que pour réussir les ENS il faut connaitre tout le programme de
licence et
> de maitrise par exemple (je veux dire, du hors programme). Mais dans
ce cas
> précis, ça ne m'aurait pas trop aidé. Je suis un peu perdu!!
>

Comme je l'ai dit, jai fait d'abord un dessin, pour n = 3.

z1............z3............z2

Dans le cas d'égalité, z3 est le milieu du segment z1z2, et il s'agit
juste de remarquer que la moitié de l'aire du carré de côté z1z2
(c'est-à-dire s²/2) est égale à la somme des aires des carrés de côtés
z1z3 et z3z2.

Maintenant, déplaçons z3 sur le segment z1z2 :

z1...................z3......z2

Un calcul facile montre que la somme des aires des carrés de côtés z1z3
et z3z2 augmente, et donc qu'elle est supérieure à s²/2.

Si maintenant z3 sort du segment z1z2 :

z3
z1...........................z2

la somme des aires des carrés de côtés z1z3 et z3z2 augmente encore par
rapport au cas précédent, et donc qu'elle est à plus forte raison
supérieure à s²/2.

Ce qui est vrai pour trois points l'est encore pour n, et il ne reste
plus qu'à traduire tout cela algébriquement. On voit bien qu'il faut
traiter simultanément |zj - z1|² et |zj - z2|², et le calcul se passe
bien.

Il me semble que la clé de cet exercice, c'est de raisonner
géométriquement et pas algébriquement (quand on cherche au départ).

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

>
> Il me semble que la clé de cet exercice, c'est de raisonner
> géométriquement et pas algébriquement (quand on cherche au départ).
>
> Cordialement
> Stéphane
>

Merci beaucoup. L'astuce était en fait de poser le changement de variable :
z'i = (z1+z2-2zi)/(z2-z1), et ça simplifie beaucoup les choses. Ce
changement de variable déplace l'origine en (z1+z2)/2, et remplace z1 par 1,
et z2 par -1. Mais ce changement de variable est-il vraiment indispensable?
Et quel leçon en tirer de manière plus générale? Cette astuce peut-elle
servir dans d'autres exos? Comment connaître ces astuces?

[Anonyme]

"ax" a écrit dans le message de
news:cdqutg$s8m$1@news-reader5.wanadoo.fr...
>[color=green]
> >
> > Il me semble que la clé de cet exercice, c'est de raisonner
> > géométriquement et pas algébriquement (quand on cherche au départ).
> >
> > Cordialement
> > Stéphane
> >
>
> Merci beaucoup. L'astuce était en fait de poser le changement de variable[/color]
:
> z'i = (z1+z2-2zi)/(z2-z1), et ça simplifie beaucoup les choses. Ce
> changement de variable déplace l'origine en (z1+z2)/2, et remplace z1 par
1,
> et z2 par -1. Mais ce changement de variable est-il vraiment
indispensable?
> Et quel leçon en tirer de manière plus générale? Cette astuce peut-elle
> servir dans d'autres exos? Comment connaître ces astuces?
>

Est-ce que tu es sûr que c'est vraiment cette astuce qu'il faut utiliser ?
Je veux dire, peut-être que le correcteur t'a guidé sur celle-ci, et
peut-être que c'est le moyen le plus rapide de faire, mais est-ce que c'est
vraiment le seul ( ça m'étonnerait ) et est-ce qu'il n'y aurait pas un moyen
plus "naturel" au niveau de la recherche qui t'amènerait au résultat ?
J'ai fait pas mal de démo à la fac où les astuces semblaient tirées du
chapeau, mais c'est parce que le prof n'était pas dans un état d'esprit de
recherche de solution, mais de recherche de la meilleure façon ( la plus
courte, ou qui utilise tel théorème en application ... ) de démontrer le
truc.

Il est clair que la meilleure méthode consiste à commencer par le cas
d'égalité, parce que ça précise un peu plus la situation et qu'on n'a pas à
se demander si la majoration qu'on est en train de faire est trop brutale ou
pas. Ensuite, regarder ce qu'il se passe quand on bouge légèrement un des
complexes, où y-a-t'il variation, ou alors comme l'a suggéré Stéphane
Ménart, partir d'un nombre n limité puis essayer de voir comment passer au
cas plus général ensuite.

Comme dans les raisonnements où on part d'une propriété sur Z avant de la
généraliser sur Q puis sur R. Toujours commencer par le cas le plus précis
et généraliser ensuite.

--
Psyko Niko

[Anonyme]

Le Fri, 23 Jul 2004 10:27:07 +0200, Stéphane Ménart a écrit :

>il s'agit
> juste de remarquer que la moitié de l'aire du carré de côté z1z2
> (c'est-à-dire s²/2) est égale à la somme des aires des carrés de côtés
> z1z3 et z3z2.

Excusez ma grande ignorance, mais ou est passé le n de l'(in)égalité de
départ: n * s^2/2 <= somme des |zi-zj|^2 (i<j)

L'égalité a montrer ici serait donc 3/2 s^2 = somme des |zi-zj|^2 (i<j)

nan ?