Le "vrai" Morpion

[Imod]

Lorsque j'étais au collège je jouais au "morpion" pendant les cours qui ne me passionnaient pas ( un mauvais exemple à ne pas suivre :hum: ) . Le jeu se joue sur la grille ci-dessous :



A chaque étape on ajoute un point de façon à obtenir un alignement de cinq points avec ceux déjà posés et on trace alors le segment reliant ces cinq points , deux traits ne peuvent partager plus d'un point .

Le but est de tracer le plus de traits possible .

Sans trouver le maximum d'alignements possible , est-il possible d'établir que ce maximum est fini ?

Imod

[SexyBoy]

Je pense que l'argument principal serai de dire que tu dispose d'un nombre fini de points sur ta grille ( 12 x 12 ).

Comme tu as un nombre fini de points tu as un nombre fini de segments possibles.

L'ensemble des segment sur ta grille est de cardinal fini. Notons cet ensemble S2.

Comme l'ensemble des segments qui alignent 5 points sur ta grille -que l'on notera S5- est inclus dans l'ensemble des segments qui relient 2 points (S2).
D'ou Card( S5 ) <= Card( S2 )

Voila on a majoré le nombre de segments qui incluent 5 points, donc il y a un nombre fini de segments qui incluent 5 points.

[Imod]

En fait l'argument ne marche pas car comme ne le laisse pas deviner mon dessin , le quadrillage est supposé infini de tous les côtés .

Imod

[scelerat]

Je pense, pour avoir occupe pas mal de cours a ce jeu :triste: qu'a partir d'un certain moment, on ne peut plus jouer que sur la frontiere exterieure de l'enveloppe des points. Definissons donc une espece d'anneau avec les points situes a 4 intersections ou moins a l'interieur de la frontiere. Si on allait a l'infini dans un demi-plan, la surface de l'anneau augmenterait comme le carre du nombre de points (parce que les points sont ajoutes dans des directions divergentes), donc a un moment la densite de points y deviendrait insuffisante pour poursuivre et c'est qu'on ne va pas a l'infini.

[Imod]

J'attends un argument plus "déterminant" :we:

Imod

[Patastronch]

J'attends un argument plus "déterminant" :we:

Imod

Je ne peux pas poser mon premier point puisqu'il ne formera pas de trait :p

p.s: ma blague est nulle je sais ... "gna gna gna la croix est présente au départ gna gna gna"

[Patastronch]

Petite question

Si l'ajout d'un point crée 2 (ou plus) nouveaux alignements autorisés compatible simultanément, dois je obligatoirement tracer les 2 traits ou puis-je en tracer un seul de mon choix ?

[Imod]

Tu traces celui de ton choix : un nouveau point = un nouveau segment .

Imod

[Doraki]

Les alignements en diagonale sont autorisés ?
Est-ce que les points doivent être rapprochés (adjacents) ou alors est-ce qu'il suffit juste qu'ils soient alignés ?

[Imod]

Les diagonales sont autorisées et les points doivent être adjacents :zen:

Je pensais , à tort , que tout le monde connaissait ce jeu , j'aurais dû détailler un peu plus :marteau:

Imod

[Doraki]

Pour chaque point il peut y avoir un trait dans 8 directions.
Si on regarde N = la somme pour chaque point déjà dessiné, du nombre de directions où il n'y a pas encore de trait,
alors ce nombre N doit rester constant lors du jeu :
Dessiner un point ajoute 8 possibilités autour de ce point, tracer un trait en enlève 8 (1 direction autour des 2 points aux extrémités, et 2 directions pour chacun des 3 points intermédiaires).
(pour info là on a N = 36*8 = 288)

Maintenant, si on regarde un ensemble quelconque de points,
on peut définir sa "hauteur" en comptant le nombre de lignes horizontales qui contiennent au moins 1 point. Sur chaque ligne on voit qu'il y a au moint 1 point qui n'a pas de trait vers la gauche (celui le plus à gauche) et de même, un qui n'a pas de trait vers la droite.
Donc N >= 2 * hauteur.
On peut faire pareil en vertical (en diagonale aussi mais ça suffit là) et voir que plus on ajoute de point, plus les tailles augmentent et plus la minoration de N augmente.
Donc je dis que tu n'arriveras jamais à placer 1+(288/4)² = 5185 points.

[Imod]

En effet l'idée est là , un invariant qui ne peut accepter l'extension du jeu :++:

Imod