Vont-ils se croiser !

[bauzau]

Une petite énigme qui m'a paru nulle au début, mais qui en fait est assez intéressante !

Un moine bouddhiste entreprend de gravir une haute montagne sacrée. Pour cela il part tôt le matin à 6h et arrive au sommet à 12h. Il médite une nuit dans le refuge de la cime et repart le lendemain à 6h. Empruntant le même chemin il est en bas à 12h.

Existe-t-il un endroit sur le chemin où il est passé à la même heure les deux jours ? Comment prouver l'existence ou l'inexistence d'un tel endroit ?

[Sake]

Une petite énigme qui m'a paru nulle au début, mais qui en fait est assez intéressante !

Un moine bouddhiste entreprend de gravir une haute montagne sacrée. Pour cela il part tôt le matin à 6h et arrive au sommet à 12h. Il médite une nuit dans le refuge de la cime et repart le lendemain à 6h. Empruntant le même chemin il est en bas à 12h.

Existe-t-il un endroit sur le chemin où il est passé à la même heure les deux jours ? Comment prouver l'existence ou l'inexistence d'un tel endroit ?

Salut,

La réponse est oui.
Soit f1 la fonction qui donne l'altitude en fonction du temps lors de l'ascension et f2 la fonction qui donne l'altitude en fonction du temps lors de la descente. Soit H la hauteur de la montagne, on a donc f1(t0) = 0, f2(t0) = H, f1(t0 + 6) = H, f2(t0 + 6) = 0
Puisque f1 et f2 sont des fonctions continues, on considère la fonction g := f2 - f1 qui est elle-même continue, vaut H en t0 et -H en t0 + 6.
Le théorème des valeurs intermédiaires assure alors qu'il existe un temps t1 tel que g(t1) = 0, ce qui conclut l'exercice.

[bauzau]

C'est ça ! Mais il ne faut pas considérer l'altitude (Si on considère 2 moines partant en même temps, ils peuvent très bien se retrouver à la même altitude sans se croiser), mais plutôt la distance parcourue depuis le bas de la montagne pour le premier moine, et la distance restante pour le second.

[Sake]

C'est ça ! Mais il ne faut pas considérer l'altitude (Si on considère 2 moines partant en même temps, ils peuvent très bien se retrouver à la même altitude sans se croiser), mais plutôt la distance parcourue depuis le bas de la montagne pour le premier moine, et la distance restante pour le second.

Oui, j'ai effectué le calcul dans l'hypothèse où l'altitude est une fonction monotone (il n'y a pas de crevasses ou de descentes "localement") du temps. Or dans la réalité, il se peut tout à fait que le relief présente quelques dénivelés négatifs, resp. positifs.

[zygomatique]

salut

que la fonction altitude soit monotone ou non les deux courbes (la deuxième translatée de - 24h) se croisent

...

[nodjim]

S'il y avait eu 2 moines partant le même jour à la même heure et empruntant le chemin en sens inverse l'un de l'autre, ils se seraient nécessairement croisés.

[SimonY]

Soit f(x) la fonction qui donne la graduation à laquelle se trouve le marcheur sur un axe de 0 à d en fonction du temps de marche.
0 est la vallée, d est le sommet. Le marcheur part de la vallée.
Soit f'(x) la fonction qui donne la graduation à laquelle se trouve le marcheur sur un axe de 0 à d en fonction du temps de marche.
0 est la vallée, d est le sommet. Le marcheur part du sommet.

f(x)=x/6*d

f'(x)=d-x/6*d

Le marcheur se trouvera au même endroit au même moment quand les deux courbes se croisent, soit quand f(x)=f'(x)

x/6*d=d-x/6*d
2*x/6*d=d
x/3*d=d
x/3=1
x=3

Le marcheur se trouvera au même endroit au même moment au bout de 3 heures de marche, soit à 9 heures.

[chan79]

Drôle de moine qui met le même temps pour gravir la montagne que pour en descendre !

[beagle]

Drôle de moine qui met le même temps pour gravir la montagne que pour en descendre !

au final il met de 06h à 12h pour monter comme pour descendre,donc le mème temps,

mais effectivement on ne connait pas les moments de pauses pipi, ni pauses casse-croute, ni les hauts et les bas du dénivelé qui au final font que sa vitesse n'est pas constante ...

S'il fait une chute de 100m mais qu'alors il prend 45 mn à soigner ses bobos,...