Vitesse de croissance

[Doraki]

en voyant ptitnoir discuter des vitesses de croissantes de suites, je me suis rappelé que j'aimais pas ces histoires de vitesses de convergences qui laissaient sottement sous-entendre qu'il y aurait une sorte de hiérarchie entre les fonctions qui tendent vers l'infini.

Donc, je propose l'exercice suivant :

Construire une suite de fonctions f0,f1,f2,f3,... de R dans R+*, continues, qui tendent vers l'infini quand x tend vers l'infini, et telles que lim fn/fm = 0 <=> m est multiple de n et différent de n.


Et après, même question mais avec une famille de fonctions indexée par les rationnels positifs plutôt que les entiers.

[Judoboy]

Je partitionne [0;1] en une infinité dénombrable de segments que je numérote S1,S2,... (par exemple S1=]1/2;1] S2=]1/4;1/2] etc.

Je décompose n en facteurs premiers (par exemple n = produit des Pi puissance Ai(n) avec Pi le i-ième nombre premier et Ai une suite à support fini).

je pose fn(x) = x^n + une fonction affine que je définis comme suit :

Si p apparaît dans la décomposition de n, sur l'ensemble {k + Sp, k appartenant à Z} je construis une fonction affine (genre un triangle) qui prend une valeur max de exp(k*Ap(n)) (au milieu par exemple) et qui vaut 0 ailleurs. Je somme toutes ces fonctions affines.

Il suffit de vérifier que fn/fm tend vers 0 ssi n divise m.

OMG c'est infernal à rédiger je pense pas que ça soit clair, si je pouvais insérer un dessin ça prendrait 10 secondes :D

Bon j'ai pris des fonctions de R+ dans R+ mais on s'en fout on les prend constantes égales à 1 sur R- et c'est bon.

[Doraki]

Ca marche, sauf pour f0 que tu n'as pas défini. Mais tu devrais pouvoir trafiquer encore un peu pour le faire rentrer (j'ai dit "... et m>n" au lieu de "et m <> n", je corrige)

Après avoir posé la question j'ai réalisé que l'ensemble partiellement ordonné dénombrable X "générique" (où pour tout ensemble dénombrable partiellement ordonné Y, pour toute partie finie Z de Y, tout plongement de Z dans X peut être prolongé en un plongement de Y dans X ; un peu comme Q pour les ensembles totalement ordonnés) est isomorphe à (Q²,<=) où (a,b) <= (x,y) <=> a<=x et b<=y.
Donc la pire question qu'on puisse poser c'est est-ce qu'on peut plonger cet ensemble là dans l'ensemble des fonctions continues.
J'y ai pas tellement réfléchi mais a priori une construction du même genre devrait marcher.

[Anneauprincipal]

je me suis rappelé que j'aimais pas ces histoires de vitesses de convergences qui laissaient sottement sous-entendre qu'il y aurait une sorte de hiérarchie entre les fonctions qui tendent vers l'infini.

Et bien oui il y a une hiérarchie, pour programmer c'est même essentiel de savoir si on converge lentement ou rapidemment !! Je ne vois pas en quoi c'est sot.