Valeur de cos(pi/7)

par **Waax22951** » 14 Fév 2015, 23:43

Bonjour,
Comme je le dis dans l'énoncé du post, l'objectif de ce défi est de trouver la valeur de

(évidemment exprimée par des radicaux) la plus simple possible.
Je ne sais pas si cette question est difficile à haut niveau, donc je ne sais pas vraiment s'il s'agit d'un défi, cependant les élèves de terminale pourront déjà y trouver un bon défi.
J'ai personnellement trouvé une réponse, mais cette dernière est tellement infâme que je me remet aux utilisateurs du forum pour m'aider..!
Pour info, on pourra se servir du fait que

est une racine double du polynôme suivant:

(Pour info, je suis parti du fait que

puis, avec un double changement de variable, je suis revenu à utiliser la formule de Cardan, donc je vous laisse imaginer la valeur trouvée..!)

Bonne soirée et merci d'avance pour vos réponses !

par **Doraki** » 15 Fév 2015, 00:46

Pour commencer, calcule le pgcd de P et de P' ; plutôt que d'utiliser seulement P'(x)=0.

Je sais pas d'où ils sortent leur polynôme mais il y a plus simple.

par **mathelot** » 15 Fév 2015, 00:54

[quote="Doraki"]
Je sais pas d'où ils sortent leur polynôme QUOTE]

sans doute un polynome de Tchebyshev.

je pensais que l'angle

n'était pas constructible.

par **Doraki** » 15 Fév 2015, 01:11

résoluble par radicaux ne veut pas dire constructible.

par **WillyCagnes** » 15 Fév 2015, 12:22

bjr
voir ce lien tres bien expliqué,
http://www.gecif.net/articles/mathematiques/trianglepascal/#4

Pour calculer cos(pi/7) on utilise la 7 ème diagonale du triangle de Pascal, qui te donnera les coefficients (au signe près) d'un polynôme de degré 3, dont cos(pi/7) est (indirectement) racine.
x^3 -5x² +6x-1=0

par **chan79** » 16 Fév 2015, 16:59

Waax22951 a écrit:Bonjour,
Comme je le dis dans l'énoncé du post, l'objectif de ce défi est de trouver la valeur de (évidemment exprimée par des radicaux) la plus simple possible.

Bonne soirée et merci d'avance pour vos réponses !

salut
Tout ce que tu peux espérer, c'est une formule du genre de celle ci-dessous, pas sympa du tout (encore faut-il trouver les bonnes racines cubiques).
Geogebra fait correctement le calcul et donne 0.900968867902419

ou alors... encore moins intéressante

par **mathelot** » 16 Fév 2015, 21:47

chan79 a écrit:Geogebra fait correctement le calcul et donne 0.900968867902419

ca se simplifie bien vû qu'on lit les arguments trigonométriques sans calcul

par **Benjamin** » 17 Fév 2015, 11:28

Salut,

Wolfram donne :

par **chan79** » 17 Fév 2015, 12:00

Benjamin a écrit:Salut,

Wolfram donne :

Si on prend

cette formule donne

A part ça, la zone coloriée a une aire égale à

par **mathelot** » 17 Fév 2015, 15:09

chan79 a écrit:

manque une parenthèse fermante

par **chan79** » 17 Fév 2015, 16:35

corrigé ! :zen:

par **Waax22951** » 22 Fév 2015, 17:31

Merci pour vos réponses..!
Chan79: Je me pose une question: ne peut-on pas simplifier la formule de manière à ne pas avoir de "i" ?

Merci d'avance..! :lol3:

par **chan79** » 23 Fév 2015, 15:01

Waax22951 a écrit:Merci pour vos réponses..!
Chan79: Je me pose une question: ne peut-on pas simplifier la formule de manière à ne pas avoir de "i" ?

Merci d'avance..! :lol3:

c'est impossible, ou alors on fait apparaître des fonctions trigonométriques (voir plus haut)

Valeur de cos(pi/7)

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