Utilisation de la courbure d'un arc.

par **dlzlogic2** » 02 Fév 2015, 00:46

Bonsoir,
On appelle courbure la valeur de la tangente du quart de l'angle au centre.
Soit 2 points A et B connus en coordonnées et c la courbure de l'arc AB.
La question est calculer les coordonnées du point C centre de l'arc de cercle AB.
Les signes, donc le choix de la position de C par rapport au segment AB, dépendent de conventions connues par ailleurs et ne font pas partie de la question.
Pour mémoire, cette technique de définition d'arc de cercle est utilisée dans un logiciel de dessin, on souhaite la "traduire" dans un autre logiciel.
Il s'agit donc d'un traitement informatique.
A vos crayons.
[Connaisseurs, s'abstenir.]

par **mathelot** » 02 Fév 2015, 13:04

bonjour,

il y a une infinité de cercles passant par A,B.
Leurs centres O est un point de la médiatrice.

On suppose les coordonnées de O (à rajouter donc)
posons C(x,y)

(x,y) vérifie les deux égalités de distance (d est la distance issue de la norme
euclidienne):

(éq. de droite)
et

(1) (éq. du second degré)

(1) est une équation du second degré car , malgré A,B,O fixés,
il y a tout de même deux arcs (AB), un grand et un petit.

Pour un point C unique, on peut orienter le plan, écrire l'équation paramétrique
de la médiatrice

I milieu de [AB]
et considérer un paramètre > 0

orthogonal à [AB] dans le sens direct, et

grosso modo,

pointe vers l'un des deux arcs de cercle (AB)

par **dlzlogic2** » 02 Fév 2015, 17:21

Bonjour Mathelot,
Je n'ai pas vu que tu aies utilisé la courbure.
De toute façon le résultat est à donner sous forme XC=... ; YC=... .
Et je dirais que la méthode pour y arriver est sans grande importance.

par **vingtdieux** » 05 Fév 2015, 01:09

On passe en polaire et on suppose que O est le centre du cercle de rayon R. On obtient C(R, 2Arctg c) apres on fait une transformation inverse pour avoir Xc et Yc.

par **dlzlogic2** » 05 Fév 2015, 01:53

Bonsoir, merci pour ta réponse.
En fait, le problème n'est pas difficile en lui même, je l'ai posé comme défi dans la mesure ou on dispose le 3 informations, les coordonnées de A et B et la courbure telle que définie dans mon premier message.
On sait dessiner un arc de cercle si on connait le centre, le point de départ et le pont d'arrivée. Donc on a besoin des coordonnées de ce centre. Je rappelle que les conditions dépendent de conventions, définies par ailleurs, ne font pas partie de la question.
La question se résume à xC = ... ; yC = ... en fonction des éléments connus, les points A, B et la courbure.
Il est bien évident que, étant donné le caractère répétitif de l'opération, toute usine à gaz est à proscrire.
Pour être plus précis, on peut imaginer qu'on a à écrire une fonction, dans le sens informatique, les paramètre d'entrée sont les points A et B et la courbure c, le résultat est le point C, centre du cercle (aux conventions près).

par **nuage** » 05 Fév 2015, 12:59

Salut,

sauf erreur de calcul de ma part on a

Si ce n'est pas le bon point pour les conventions de signe, il suffit de remplacer

par

par **dlzlogic2** » 05 Fév 2015, 15:58

Bonjour Nuage,
Non, c'est pas bon. Vérification : si xA = xB ou yA = yB, il est clair que le point calculé est au milieu de AB.

PS. Mon argument de vérification n'est pas terrible.
Naturellement, c'est le terme (1-c²)/c qui est faux.

par **nuage** » 05 Fév 2015, 18:46

En effet, le coefficient est

.

Et ton argument est effectivement faux.

On peut prendre

ce qui correspond à un arc de

on trouve

ce qui est normal et

ce qui me semble correct (éventuellement le signe est mauvais, suivant les conventions utilisées).

par **dlzlogic2** » 05 Fév 2015, 20:18

Si je l'applique, je n'ai pas les résultats attendus.
Autre détail, le calcul n'est valable que pour des 1/4 d'angle au centre inférieurs à 45°.
C'est à dire que c est compris entre -1 et +1.
Donc, je sais pas pourquoi c'est faux.

par **nuage** » 05 Fév 2015, 22:27

Il est facile de vérifier que la formule que j'ai donné fonctionne pour un arc de 240°, soit

.

Si tu veux bien donner un exemple effectif, ou préciser ta demande...

[edit] rappel

par **vingtdieux** » 06 Fév 2015, 00:09

X= R cos (2 Arctg c)
Y= R sin (2 Arctg c)

avec R= AB/2 tg(2 arctg c) . Ensuite il faut obtenir les coordonnées du centre du cercle de maniere a trouver x et y quand on a X et Y.
AB se calcule avec les coordonnées

par **dlzlogic2** » 06 Fév 2015, 00:48

Bon, je ne sais pas trop quoi répondre.
Mon module fonctionne, donc a priori, je n'ai aucune demande.
Comme j'ai lancé le défi, il est normal que je réponde.
@ Nuage. J'ai cherché au moins deux heure pour essayer de comprendre le problème.
Tes vérifications sont des cas TRES particuliers A(-1,0) B(1,0). Mes calculs portent sur un très grand nombre d'arcs, sur un gros fichiers, alors c'est assez difficile d'isoler un exemple.
A mon avis (mais j'en suis pas certain), c'est que ta formule ne tient pas compte de la distance AB. Je n'ai pas encore réussi à le montrer, mais une chose certaine, ta formule donne un résultat non débile, mais pas ce qu'on attend.
J'avoue que ça m'énerve de pas trouver où est la faute.
De toute façon, je continue demain.

@ vingtdieux, la valeur c n'est pas une direction, mais un angle au centre. Je pense que le dessin d'une figure t'aiderait.

par **nuage** » 06 Fév 2015, 02:22

J'ai pris cinq minutes pour donner la formule. Elle est peut-être fausse.

Il me semble étonnant qu'il soit difficile d'isoler un exemple.

Je constate avec tristesse que tu n'as pas changé.

par **dlzlogic2** » 06 Fév 2015, 14:05

Bonjour,
Non, tu as raison, ce n'est pas difficile d'isoler un exemple

xA=562370.3273338858
yA=358220.7629302583
c=0.3334525329032604
xB=562374.2353174161
yB=358232.1123821251

Avec ta formule, je trouve
Mxc=562251.008 Myc=358268.416

Le bon résultat est
xc=562364.700 yc=358229.059

Nota. Toutes ces valeurs ont été copiées-collées, donc, pas de risque de faute de frappe.

par **Skullkid** » 06 Fév 2015, 20:46

Ce qui est saisissant c'est qu'aucune des deux formules données par nuage (ni la première, fausse, en

ni la seconde, correcte, en

) ne donne tes Mxc et Myc.

Quel genre de mesure donne 16 chiffres significatifs ? Moi je vis dans le réel et c'est vraiment dommage qu'aucun des enseignants ici n'ait réagi à la définition de la courbure telle que présentée ici. N'y a-t-il donc personne ici qui soit capable de sortir un peu de ses manuels scolaires pour résoudre un problème de géométrie élémentaire ne nécessitant qu'un bagage de lycée ? Pas la peine de me répondre, c'est évidemment une question piège, mais je me permets de la poser timidement car la loi et les plus hautes autorités de l'état m'y forcent. J'ai bien entendu rédigé une réponse précise sur mon site, en me basant sur des notions très précises connues de tout un chacun dans ma confrérie. Mais évidemment tout ceci est hors-sujet alors n'en tenez pas compte. Bande d'incultes.

par **Doraki** » 06 Fév 2015, 22:30

Moi je trouve que la formule de nuage marche mieux que le "bon résultat" de dlzlogic

par **dlzlogic2** » 06 Fév 2015, 23:07

Les réponses de Skullkid et Doraki sont intéressantes et je pense réellement qu'elles méritent d'être développées.
Concernant le résultat, sauf si je me suis trompé de ligne, ce que je ne pense pas, je vous assure que le résultat que j'ai donné est le bon résultat.
La remarque de Sukllkid mérite d'être développée : quels sont les valeurs que tu obtiens ?
J'ai dit que je n'ai pas trouvé la raison pour laquelle c'est faux, et ça m'énerve.
@ Skullikid, d'où vient cette citation. Tu as raison d'évoquer le problème lié au nombre de chiffres significatifs, les valeurs utilisées n'ont que 9 chiffres significatifs (c'est à dire le mm) donc suffisants.

Donc, je confirme, le point que j'ai calculé correspond à la valeur souhaitée (dessin si vous le désirez), pour le reste, ça reste un mystère pour moi.
Détail des calculs si vous le désirez.
J'avoue que je n'imaginais pas qu'un tel petit calcul poserait tant de problèmes.

[Edit]
Bon, je crois que j'ai trouvé l'explication, je le soupçonnais, mais j'arrivais pas à le prouver.
Calcul identique, avec une autre écriture :
Nuage rap = -11.912348 Mxc=562236.800 Myc=358273.344

Ceci dit, je peut me tromper, mais une chose est sûre, les calculs de centres avec ma méthode donne le résultat graphique attendu, pas celui avec la formule de Nuage.

par **Sylviel** » 06 Fév 2015, 23:45

Je suis alle voir le site de Dlzlogic, et suis triste d'imaginer que de pauvres eleves pourrait croire que les documents qu'il y mets sont fiables...

par **nuage** » 07 Fév 2015, 00:11

Je pourrais donner une démonstration.

Je n'en ferais rien car je crois que dlzlogic2 est malhonnête.

par **dlzlogic2** » 07 Fév 2015, 00:31

nuage a écrit:Je pourrais donner une démonstration.

Je n'en ferais rien car je crois que dlzlogic2 est malhonnête.

Qu'est-ce que tu crois, naturellement j'ai compris ta formule, simplement je ne comprends pas très bien pourquoi le résultat n'est pas ce qu'on attend.
Tu en matière d'honnêteté intellectuelle, je crois que tu n'as rien à m'apprendre.
1- je n'insulte jamais personne
2- lorsque je ne comprends pas quelque-chose, je pose des questions et je cherche à comprendre.

La courbe concernée a un rayon de 10.03 et une corde de 12.04. C'est incontestable.
Je continuerai volontiers la recherche d'une explication avec Doraki, mais avec toi.

Utilisation de la courbure d'un arc.

Utilisation de la courbure d'un arc.

Qui est en ligne