Unique

[MMu]

Soient un réel positif et une suite croissante de réels positifs tels que
Montrer qu'il existe un seul tel que :

[zygomatique]

salut

une idée de preuve ...



or la série des converge donc est borné par une constante k

donc pour n suffisamment grand on doit pouvoir en trouver au moins un


quant à prouver l'unicité ... :hein:

[nodjim]

Attention, 1/n² est un min. Même si la suite diverge, ça marche de toute façon.

[zygomatique]

oui en fait c'est un pseudo équivalent ...

[Sake]

Pour l'existence :

Puisque pour tout n, l'inégalité suivante qui est strictement positif.

Je réfléchis encore à une manière de concilier le rang n que je viens de trouver avec un rang n1 correspondant à l'inégalité de gauche... En tout cas il faut vraisemblablement que

Sans certitudes toutefois... :/

PS : Je retire ce que j'ai dit pour l'inégalité de droite. Il existe un bogue... Rien ne garantit que lorsque n devient grand, la quantité a/n décroit assez vite pour se trouver en-dessous de

[nodjim]

On a
x1 x2-x1
x3 2x3-(x1+x2)
et plus généralement
x(n+1) n*x(n+1)-(x1+x2+..xn)=En
Mais est ce tjs vrai, avec a fixé, si n ---> oo ?
En=(x(n+1)-xn)+(x(n+1)-x(n-1))+...(x(n+1)-x1)
En supposant une progession minimale de la suite des x, soit x(n+1)=xn+ 1/n² on a:
En=1/n²+(1/n² + 1/(n-1)²)+(1/n² + 1/(n-1)² + 1/(n-2)²)+.....=
n/n²+(n-1)/(n-1)² + (n-2)/(n-2)²+....=
1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+....
Somme minimale qui est divergente.
Il n'existe pas de a suffisamment grand pour être tjs au dessus de En.
Il arrivera donc que pour une valeur de n on aura:
(a+x1+..xn)/n1
Par récurrence:
a+x1+..xn < n*x(n+1)
a+x1+..x(n+1) < (n+1)*x(n+1) < (n+1)* x(n+2).
Donc (a+x1+..x(n+1)/(n+1) < x(n+2)

[Doraki]

Si la suite (Xn) est strictement croissante alors la suite (Yn = nXn - (X1+...+Xn)) est aussi strictement croissante avec Y1 = 0, ce qui veut dire exactement la même chose que pour tout a >=0 il existe un unique n>=1 tel que Yn <= a < Y(n+1)

[nodjim]

Attention, Doraki, il ne suffit pas que Yn soit strictement croissante, il faut aussi qu'elle soit divergente.

[Doraki]

Soit Yn = nXn - (X1+...+Xn)
Y1 = 0, et Y(n+1) - Yn = n(X(n+1) - Xn) > 1/n, donc Yn est strictement croissante et diverge vers l'infini.

Donc pour tout a >=0 il existe un unique n>=1 tel que Yn <= a < Y(n+1)

[nodjim]

Ah c'est mieux comme ça.

[zygomatique]

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