Une suite (niveau bac+0 et plus)

[aviateur]

Bonjour
Voici un exercice (tiré je pense d'une compétition ) que j'ai trouvé avec une solution un peu recherchée. J'ai trouvé aussi une solution élémentaire, c'est à dire faisable pour un élève de niveau 1-ère ou terminale. D'où le titre.

Soit la suite et

1. Démontrer que pour tout .

2. Démontrer que les termes de la suite sont tous distincts.

[zerow2001]

.

[pascal16]

xn+1=xn conduit à x²=-1, impossible dans R
si la suite est bien définie, tous ses termes sont différents

[aviateur]

xn+1=xn conduit à x²=-1, impossible dans R
si la suite est bien définie, tous ses termes sont différents

La question 1. est évidente. Le fait que la suite soit bien définie n'implique en rien que tous les termes sont différents.
Le problème reste bien ouvert.

[LB2]

Bonjour
Voici un exercice (tiré je pense d'une compétition ) que j'ai trouvé avec une solution un peu recherchée. J'ai trouvé aussi une solution élémentaire, c'est à dire faisable pour un élève de niveau 1-ère ou terminale. D'où le titre.

Soit la suite et

1. Démontrer que pour tout .

2. Démontrer que les termes de la suite sont tous distincts.

Si la suite prenait deux fois la même valeur, alors elle serait périodique

[aviateur]

Bonjour
Effectivement elle serait périodique et non convergente (puisque 2 termes consécutifs ne peuvent être égaux). Mais cette suite n'est pas convergente donc la question reste entière.

[LB2]

ah mais c'est délicat il n'y a pas de point fixe à cette homographie... donc pas d'intervalle stable non plus...
C'est intéressant! Je n'ai pas vu ce cas souvent et les bouquins que j'ai lus mettent ce cas sous le tapis la plupart du temps

[LB2]

la palme étant décernée à ce texte (pourtant culturemath est très bien d'habitude) qui afffirme tout bonnement qu'il n'existe pas de fonction homographique sans point fixe

http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/ana ... aphies.pdf

[aviateur]

Oui c'est un peu étonnant (mais c'est pas signé)!

[Archytas]

la palme étant décernée à ce texte (pourtant culturemath est très bien d'habitude) qui afffirme tout bonnement qu'il n'existe pas de fonction homographique sans point fixe

http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/ana ... aphies.pdf

Les homographies sont considérées comme des fonctions du plan projectif dans le plan projectif. Il n'est pas affirmé qu'elles ont un point fixe affine.

[LB2]

En fait c'est surtout que l'homographie associée à a deux points fixes complexes ( et ) mais pas de points fixes réels.

Si on considère la suite complexe , elle est géométrique de raison

Il y a une ambiguïté sur la notion de point fixe : est-ce qu'on les cherche dans R, dans C, ou dans P1(C)
Le texte a raison (évidemment) dans le théorème 2.5, je remarquais juste que l'introduction (avec un exemple réel) pouvait induire en erreur et faire croire que toute homographie réelle avait au moins un point fixe réel

[LB2]

Du coup en passant par les complexes et la suite auxiliaire géométrique, j'arrive à montrer que est de la forme avec défini par et

J'ai l'impression de n'être guère plus avancé ceci dit pour montrer que les termes sont distincts...

[chan79]

salut
une remarque
si on pose y(n)=arctan(x(n)), les différences entre les termes consécutifs de la suite y(n) sont égales soit à arctan(2) soit à arctan(2)-

[mathelot]

Du coup en passant par les complexes et la suite auxiliaire géométrique, j'arrive à montrer que est de la forme avec défini par et

J'ai l'impression de n'être guère plus avancé ceci dit pour montrer que les termes sont distincts...

bjr,
on a l'identité



d'où

[aviateur]

Bonjour
Alors une des solutions utilise bien que est de la forme
Ce qui explique aussi le tableau de @chan.

[chan79]

d'accord avec x(n)=tan(n*arctan(2)) ?

[LB2]

oui! j'obtiens bien de mon côté theta/2=arctan(2), merci mathelot!

[MMu]

On a avec (facile via recurrence).
Si'il existe tel que alors ( entier),
donc ce qui est impossible (résultat connu )
Voici une justification parachutée rapide.
Notons . On obtient et
Via récurrence on obtient donc ..

[aviateur]

Bonjour
@Mmu, Tu obtiens que pour des nombres k,m,n entiers. Le fait de dire que c'est impossible, je veux bien mais "résultat connu" pour moi non. Alors as- tu des arguments?
Ensuite je n'ai pas vérifié mais à quoi ça sert?

bon je laisse encore vivre un peu cette énigme pour celui que ça intéresse. De toute façon après avoir remarqué que finir la démo n'est pas si terrible que ça.
J'ai aussi une démo qui n'utilise pas du tout les tangentes et arctan donc démo faisable un élève de terminale.
Là aussi j'attends encore.

[LB2]

est-ce que la démo "niveau terminale" utilise les congruences?