Une suite d'entiers ?

[nodjim]

Bonjour à tous les Mathonautes.
Soit la suite définie par:
un=u(n-2)+4(u(n-1)-rac(u(n-1)*u(n-2)+R)). R est un entier fixe.
Montrer qu'avec (u0, u1) choisis convenablement, cette suite est croissante et ne donne que des nombres entiers.
Trouver un en fonction de n, R et (u0,u1).

Ce n'est pas un problème d'Olympiades, mais il y trouverait sa place, sans doute...

Comme je n'ai pas encore eu l'occasion de le faire, j'en profite pour souhaiter de bonnes fêtes de fin d'année à tous.

[Ben314]

Salut,
Si alors
Qui est entier pour tout ssi est un carré parfait.

[Doraki]

si on note u0 = c; u1 = a+b+c ; 4R = b²-4ac, avec 2a+b >= 0;
on trouve que u2 = 4a+2b+c
Ce qui montre que la suite un est les valeurs du polynôme de degré 2 de discriminant 4R qui prend les bonnes valeurs en 0 et en 1.

[nodjim]

Bravo à vous deux.
Je vais ajouter comment j'en suis arrivé là. Je cherchais comment évoluait la suite des nombres suivants:
4N²-R=a avec a>N>0. Puis
(4(a-N²)-R)/a= b puis et si b>a:
(4(b-a+N²)-R)/b= c
....
qui donne bien une suite d'entiers y=ax²+bx+c quand on incrémente x d'une unité à la fois.