Une suite "carrée carrée"

[Ben314]

Salut,
.

Montrer que, pour tout est non seulement un entier, mais c'est même un carré parfait.

[Elias]

Intéressant !

Il semblerait qu'un raisonnement par récurrence ne fonctionne pas, la propriété ne se transmet pas héréditairement car l'implication suivante n'est pas vraie en toute généralité " tel que est un entier carré parfait" " est un entier."

Par exemple, avec n'est pas entier.

[chan79]

une piste, peut-être:
u(n)=8*u(n-1)-8*u(n-2)+u(n-3)

[mathelot]

les premiers termes

[mathelot]

-1 est point fixe de la suite.

[Pseuda]

La suite des nombres au carré fait penser à la suite de Fibonacci, à laquelle on a enlevé un nombre sur 2 :
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144
1-3-8-21-55-144

[lynux]

Oui c'est ce que je me disais mais il manque pas mal de nombre.
Sinon, si on considère on conjecture
Je ne sais pas si ça mène à grand chose...

[Pseuda]

Oui c'est ce que je me disais mais il manque pas mal de nombre.
Sinon, si on considère on conjecture
Je ne sais pas si ça mène à grand chose...

En effet, la conjecture a l'air de tenir, mais Un+1 en fonction de U2n, ou U2n en fonction de Un et U(n+1), cela ne paraît mener à quelque chose.

[aviateur]

Bonjour
Après avoir démontré les relations
u

et

j'en déduis par une simple récurrence le résultat

[chan79]

il y a aussi

[Pseuda]

Bonjour,

Avec la suite de Fibonacci , et pour , on obtient qu'il faut montrer que . (idem chan)

[aviateur]

Remarque pour démontrer les 2 relations que j'ai données plus haut on utilise ceci.
f(x) à la forme f(x)=p(x)+v(x)
Un petit calcul montre que alors
et les relations sont plus faciles à obtenir. Pour la relation de Chan c'est interssant il faudrait voir si on utilise la même chose qu'ici pour l'obtenir

[Pseuda]

@aviateur, pour obtenir la relation de Chan, j'ai voulu montrer par récurrence que la suite vérifie , où ( est la suite de Fibonacci.

On suppose que et que (c'est l'hypothèse de récurrence au rang n-1). Je ne donne pas le détail. L'hypothèse de récurrence est vraie au rang n ssi .

Détail : on suppose que l'HR est vraie au rang n-1. Alors :
(1)
(2) ssi
donc ssi .

[Ben314]

A mon avis, c'est plutôt ça le plus simple :

il y a aussi

Une des façons de mener les calculs :




Et effectivement, c'est la suite de Fibonnacci où on prend un terme sur 2 vu que, si alors puis qui est la même relation de récurrence.

[Pseuda]

Bonjour,

Ce qui m'intéresse de savoir, c'est comment cette énigme a été "construite".... bien que je m'en doute un peu :
- on prend la suite de Fibonacci
- on prend un terme sur 2 de cette suite : on a une relation de récurrence d'ordre 2 : , et on pose
- on prend les carrés de cette nouvelle suite : .
Il s'agit d'obtenir une relation de récurrence d'ordre 1 sur .

[Ben314]

En fait non, j'avais pas fait gaffe qu'avec ces valeurs particulières là on avait une suite liée à celle de Fibonacci.

Si tu veut savoir d'où je suis parti, regarde l'énigme suivante.

[Ben314]

- on prend les carrés de cette nouvelle suite : .
Il s'agit d'obtenir une relation de récurrence d'ordre 1 sur .

Si tu as une relation de récurrence du type comme celle des avec alors le polynôme caractéristique est qui, si admet deux racines réelles telles que et il existe tels que, pour tout on ait .
On a donc d'où et ce qui signifie que

donc que
Pour et (qui dépend de et ) tu trouve la formule de l'énoncé.

[Pseuda]

Bonsoir,

Ok merci Ben314, tu réponds exactement à ma question. Du coup, j'ai une autre question que je me suis posée à l'occasion de cette énigme : d'une suite récurrente d'ordre 2, peut-on toujours en tirer une suite récurrente d'ordre 1 ?

[Ben314]

Ok merci Ben314, tu réponds exactement à ma question. Du coup, j'ai une autre question que je me suis posée à l'occasion de cette énigme : d'une suite récurrente d'ordre 2, peut-on toujours en tirer une suite récurrente d'ordre 1 ?

La question est un peu vague, donc je la précise sous la forme :
D'une formule de récurrente linéaire d'ordre 2, peut on toujours en déduire une formule récurrente non linéaire d'ordre 1.
Et à mon avis, je pense que non : ici le truc spécifique, c'est que tu as du avec ce qui fait que les deux racines du polynôme associé sont simplement l'inverse l'une de l'autre : et c'est grâce à ça que tu peut "retrouver" en partant de .
Si on avait par exemple donc alors la formule donnant en fonction de contiendrait du .

[Pseuda]

OK. Ma question était très générale, pensant que dans une suite récurrente d'ordre 2, chaque terme contient en germe toute l'information précédente. Mais en fait non, car cela ne marche pas (avec ton exemple) de manière générale pour les suites récurrentes linéaires.
Dans l'énigme, ça marche parce que c'est très spécifique. Merci.