Une question orthogonale . . .

[benekire2]

Bonsoir, puisque mon "défi" précédent ne passionne pas des foules, j'en pose un autre marrant :

Trouver toutes les application f de R dans R continues telles que pour toute application g de R dans R dérivables à dérivée continue :

Bon travail :lol3:

[Nightmare]

Salut,

est-ce vraiment la question que tu voulais poser? Si c'est le cas, ça se règle en une ligne :

En blanc : Si c'est vrai pour toute fonction continue g, en particulier c'est vrai pour g=f, alors l'intégrale de f² est nulle, puis par continuité et positivité, f² est identiquement nulle puis f aussi toujours par continuité

[benekire2]

Salut nightmare !! Je viens de rajouter l'hypothèse g est C1 ce qui ( enfin je crois, je vérifie ça ) rend le machin un peu moins évident,

[Nightmare]

Non ça ne change rien, il suffit de prendre g identiquement égale à 1 (ça marchait aussi pour le premier énoncé d'ailleurs, pas besoin d'aller chercher f²).

En fait, il faudrait plutôt diminuer les hypothèses sur g, par exemple g continue par morceau ou en escalier...

Edit : Pour faire plus simple, quel est l'énoncé que toi tu as résolu et comment as-tu procédé?

[benekire2]

Euh , si je prend g=1 alors je sais juste que l'intégrale de f vaut 0 sur [0,1] mais ça ne me dit pas que f est identiquement nulle ...

Perso : Notons F l'unique primitive de f ( qui vérifie l'énoncé) s'annulant en 0 , on montre que F(1)=0 et quand j'intégre Fg [avec g continue ]entre 0 et 1 je montre que F vérifie aussi les conditions de l'énoncé et donc je peut librement considérer l'intégrale de F²t² car Ft² est C1 , et j'en déduis f=0

[Nightmare]

Oui j'ai pris f positive sans trop y penser. Sinon effectivement, on peut intégrer par partie.

Bon, et le titre? :lol3:

[benekire2]

Bon, et le titre? :lol3:

Le titre, oh, tu auras deviné tout seul qu'on cherche l'orthogonal de pour le produit scalaire : integrale 0^1 fg , mais c'est surtout que je savais pas quoi donner comme titre :ptdr:

[Monsieur23]

Salut nightmare !! Je viens de rajouter l'hypothèse g est C1 ce qui ( enfin je crois, je vérifie ça ) rend le machin un peu moins évident,

Et pourquoi pas ?

De toutes façons, tu peux approcher f uniformément par des polynômes...

[Nightmare]

Attention cependant, si l'on demande des solutions sur R tout entier, on en a pas mal !

Bon, et quid si on réduit aux fonctions en escalier?

[Monsieur23]

Ben idem : les fonctions en escalier sont uniformément denses dans les fonctions continues.

Mais effectivement, on obtient la nullité de f sur [0,1], on peut rien dire sur R tout entier !

[benekire2]

Oui f est nulle sur [0,1] c'est tout! !! A la limite on pourait limiter l.enonce a cet intervalle

[Nightmare]

Sans critère de densité bien entendu! :lol3:

[Monsieur23]

On considère où sont positives et sont respectivement les parties positives et négatives de f.

[tex] \int_0^1 f = \int_{\{f\geq 0\}} f - \int_{\{f0} et l'indicatrice de {f<0}, on devrait s'en sortir j'pense... (f continue, donc elle va pas changer de signe anarchiquement)

[Sylviel]

Tu veux dire quoi qu'elle va pas changer de signe anarchiquement ?

[Monsieur23]

Aloha,

Je voulais dire que les indicatrices que je prends vont bien être des fonctions en escalier... Mais finalement je doute un peu (genre xSin(1/x), c'est ce que j'appelle des changements de signes anarchiques...).

[Nightmare]

Bon après réflexion je ne crois pas qu'on puisse s'en sortir facilement sans utiliser la densité. En tout cas, je ne trouve rien de bien utile.