Une partie de R^n

[aviateur]

Bonjour
voici un petit exo que je propose:
étant muni d'une norme. Que dire d'un sous-ensemble de E, convexe, compact, symétrique par rapport à l'origine et d'intérieur non vide? Bien entendu, justifier la réponse.

[pascal16]

j'imagine un blob centré sur l'origine.

[aviateur]

un blob, c'est quoi ce machin?

[hdci]

La norme ne semble servir que pour définir la topologie (donc la compacité et l'intérieur non vide).
Toutes les normes étant équivalentes en dimension finie, il n'y a pas lieu de s'en soucier outre mesure ; la compacité implique l'aspect borné, l'aspect symétrique implique qu'on peut ne se soucier que du quadrant des coordonnées positives et procéder par symétrie pour compléter.

Il en résulte que la frontière de la partie, dans ce quadrant haut droit, est une fonction continue convexe dont le domaine de définition est avec

(Définition pour la fonction convexe :

il me semble me souvenir que la continuité en découle, mais je n'ai pas fait l'effort de rechercher ce point

PS (ajout postérieur) il me semble que la définition de convexe, c'est le contraire, mais cela ne change rien à ce qui suit)

Si tant mieux, sinon on "ferme" à droite par le segment vertical d'abscisse . La figure obtenue, délimitée par la fonction f et par les axes (et éventuellement par le segment vertical) est convexe, c'est une conséquence de la convexité de f (de plus la réciproque est vraie si f n'est pas convexe, alors la figure obtenue ne l'est pas).
On prolonge sur par parité ; cela implique que doit être décroissante (au sens large) sur pour conserver la convexité sur le demi-plan supérieur.

On délimite sur le demi-plan inférieur par la fonction g définie par sur

Le résultat (l'ensemble des points vérifiant et est ainsi un fermé borné donc compact, d'intérieur non vide (car le centre est dans l'intérieur : pusque et l'ensemble contient un (petit) disque ouvert centré en O), convexe et symétrique par rapport à l'origine.

Exemples : un disque centré sur l'origine (fermé), un carré centré sur l'origine dont les côtés sont parallèles aux axes (fermé), un carré centré sur l'origine dont les sommets sont sur les axes, une ellipse à grand axe horizontal ou vertical centrée sur l'origine, un "blob centré sur l'origine" de pascal16 à condition que sa frontière sur le quadrant haut gauche soit une fonction continue décroissante convexe...

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop quelle est la réponse attendu, mais le premier truc qui me serait venu à l'esprit, c'est de dire qu'il existe une (unique) norme sur R^n tel que le en question, ça soit la boule unité fermée pour cette norme là.
Et si c'est bien ça la réponse, c'est un peu long à justifier vu qu'il faut définir la norme, vérifier les axiomes et montrer l'unicité mais chaque "point" de la preuve est assez élémentaire.

[pascal16]

pour le blob :
tu laisses un liquide visqueux d'étaler, il forme une étoile aux forme arrondies, c'est un blob.
il faut un blob convexe, on a pas la droit aux étoiles.

[danyL]

pour le blob :
tu laisses un liquide visqueux d'étaler, il forme une étoile aux forme arrondies, c'est un blob.
il faut un blob convexe, on a pas la droit aux étoiles.

je crois qu'on a perdu pascal

[aviateur]

Bon d'accord @ben, la réponse c'est bien la boule unité fermée.
Je laisse encore la preuve en énigme.

[pascal16]

On manque de termes pour exprimer certaines idées.

On trouve plein d'exemple "Boule unite+ norme" => "convexe symétrique"

[Ben314]

Oui, mais justement, ici le but de l'exo, il me semble que c'est pas vraiment de vérifier que, quelque soit le norme choisie sur R^n, la boule unité fermé est :
convexe, compacte, symétrique par rapport à l'origine et d'intérieur non vide.
A mon avis, le but c'est plutôt de montrer que ce critère est caractéristique des boules unités fermées c'est à dire que si tu te donne un tel ensemble alors il existe une norme tel que...