UNE OPERATION AVANT L'ADDITION ???

[mederic39]

Bonjour,
Je suis élève de Première, et je m'intéresse depuis quelques jours à la question "quelle opération peut-il y avoir avant l'addition ?"
En gros, les puissances itérées de Knuth sont des répétitions de la puissance, qui est une répétition de la multiplication, qui est une répétition de l'addition... Et je cherche à savoir si l'addition est une répétition d'une autre opération.
Comme pour les puissances itérées de Knuth, je note ces opérations avec des flèches vers le bas, et j'en arrive à faire des tableaux de valeurs (allant de 0 à 10) pour les opérations allant jusqu'à 5 flèches en dessous de l'addition.
Maintenant, j'ai besoin de vous pour compléter les valeurs des cases vides !

PS : Dans mes tableaux, la notation #A signifie que toutes les valeurs remplacées par un #A sont identiques entre elles, même chose pour #B.

[mathelot]

Bonjour, avant l'addition, il y a l'opération unaire du successeur : .en effet on pose (cf. axiomes de Péano)

[mederic39]

Bonjour, avant l'addition, il y a l'opération unaire du successeur : .en effet on pose (cf. axiomes de Péano)

Et donc, en ce qui concerne mes tableaux... Sont-ils justes ?

[mederic39]

Bonjour, avant l'addition, il y a l'opération unaire du successeur : .en effet on pose (cf. axiomes de Péano)

En fait, ce n'est pas vraiment la question...

...
3↑↑↑4=3↑↑3↑↑3↑↑3, on répète 4 fois le chiffre 3 dans l'opération ↑↑
3↑↑4=3^3^3^3, on répète 4 fois le chiffre 3 dans l'opération ^
3^4=3*3*3*3, on répète 4 fois le chiffre 3 dans l'opération *
3*4=3+3+3+3, on répète 4 fois le chiffre 3 dans l'opération +
...

Ce que je cherche, c'est les opérations que l'on trouve "après" l'addition, si on visualise comme cela.
J'utilise donc "↓", puis "↓↓", puis "↓↓↓"... Pour les opérations dont l'addition serait la répétition.
De ce fait, on a :

3+4=3↓3↓3↓3
3↓4=3↓↓3↓↓3↓↓3
3↓↓4=3↓↓↓3↓↓↓3↓↓↓3

Etcetera... Et en faisant des équations (en remplaçant les chiffres pas des opérations, et inversement...), je parviens à remplir les tableaux suivants :









Etcetera...

[ffback]

Salut

Ton combat me semble malheureusement perdu d'avance. Si additionner k à un nombre a revenait à faire une opération du type a↓a↓...↓a, ça devrait naturellement impliquer en faisant k=1. que a+1=a (de même que ax1=a et a^1=a). Alors j'imagine que tu élimines le cas k=1 de ta définition pour éviter le problème, mais cet artifice ne te sauvera pas, la loi que tu crées souffrira nécessairement de gros problèmes, le principal étant la non associativité, qui rend les calculs ambigus. Par exemple en reprenant ton tableau, peut on dire ce que vaut 1↓2↓4 ?
Est-ce 1↓2↓4=1↓5=6, ou est-ce 1↓2↓4=3↓4=5?

Voici le genre de problèmes qui arrivera nécessairement et qui empêche donc de créer une telle opération à moins d'être particulièrement laxiste sur les propriétés de l'opération en question (mais qui du coup la rendrait probablement non unique)

[mederic39]

Par exemple en reprenant ton tableau, peut on dire ce que vaut 1↓2↓4 ?
Est-ce 1↓2↓4=1↓5=6, ou est-ce 1↓2↓4=3↓4=5?

Non, ce n'est pas un problème.
On effectue le calcul dans l'ordre. C'est-à-dire, 1↓2↓4=3↓4=5.
L'ordre des opérations aura son importance, ce qui permettra de n'avoir qu'un seul résultat à chaque calcul.

ça devrait naturellement impliquer en faisant k=1. que a+1=a (de même que ax1=a et a^1=a).

Ah? Tu es certain que a+1=a?
Non, car dans mes opérations, l'élément neutre n'est pas le même que dans l'addition, ou que dans la multiplication, puissance, etc...
Dans l'addition, l'élément neutre est le 0, car a+0=a. Dans la multiplication et les puissances, c'est le 1.
Mais dans mes opérations "flèches", l'élément neutre varie selon le nombre flèche, et on arrive même à constater que pour certaines opérations, il n'y a aucun élément neutre. La logique de l'addition que l'être-humain se procure dès la naissance n'existe plus avec mes opérations. Ainsi, il n'y a pas d'élément neutre, et j'exclue bien que k↓1=k, ou que k↓0=k.

[mederic39]

Petite remarque intéressante que je viens de remarquer dans mes tableaux.
Les puissances de 2 ressortent !

Par exemple, lorsqu'on lit la diagonale de l'opération ↓↓↓, on peut lire 4, 6, 10, 18, 34, 66, 130...
Ce sont les puissances de 2 auxquelles on ajoute "2".

Les puissances de 2 apparaissent aussi ailleurs dans les autres tableaux...
Il y a peut-être une analyse à faire là-dessus !

[ffback]

Ok, si on fixe un ordre comme tu dis, on peut effectivement obtenir un "ancêtre" de l'addition en ton sens, et le tableau que tu marches fonctionne. Par contre cette opération ancêtre n'est pas tout à fait unique, mais on peut caractériser: si on cherche les opérations ↓ qui sont symétriques (a↓b=b↓a) et qui vérifient
a↓a↓...(n fois)...a↓a=a+n (en effectuant les opérations dans l'ordre), alors cette opération ↓ est définie par
a↓b=a+2 si a=b
a↓b=max(a,b)+1 si |a-b|>1
a↓b=ce qu'on veut si |a-b|=1

Autrement dit, on peut mettre dans ton tableau n'importe quoi juste au dessus et au dessous de la diagonale, par exemple que des 0, et ça marchera encore (pour le reste du tableau, il n'y a par contre pas le choix) . Ca vient du fait que quand on calcule a↓...(n fois)...↓a, on a jamais besoin de calculer (a+1)↓a, on fait
a↓a=a+2, a↓a↓a=(a+2)↓a=a+3, a↓a↓a↓a=(a+3)↓a=a+4, etc...(on retrouve l'idée de successeur dont a parlé Mathelot)

Dans ton tableau, tu as choisi a↓b=max(a,b)+1 quand |a-b|=1, qui est un choix naturel bien qu' arbitraire. EN tout cas, ça marche.

Par contre, pour ↓↓, ça se gâte. il n'y a vraiment pas moyen d'obtenir un ancêtre de ↓, même sans exiger d'autres propriétés. Explications au prochain post

[ffback]

Supposons que ↓↓ existe. Je part du nombre 5 (c'est arbitraire, mais il faut pas qu'il soit trop petit pour mon raisonnement), et je dis qu'on doit avoir
5↓↓5=5↓2=6 (ton tableau est d'accord)
6↓↓5=(5↓↓5)↓↓5=5↓3=6 (ton tableau est toujours d'accord).
Mais du coup, en partant de 5↓↓5=6↓↓5=6, on obtient successivement
5↓↓5=6
5↓↓5↓↓5=6↓↓5=6
5↓↓5↓↓5↓↓5=6↓↓5=6
5↓↓5↓↓5↓↓5↓↓5=6↓↓5 =6
...(on pourrait continuer)
Ce qui pose problème car on doit normalement avoir 5↓↓5↓↓5↓↓5↓↓5=5↓5=7.

Contradiction: ↓↓ n'existe pas