Une majoration

[besttrainer]

salut voici un exo que j'ai rencontré lors de ma préparation des suites numériques
Démontrez que pour tout n £ N*
on a (1+1)(1+1/8)(1+1/27)....(1+1/n³) < 3
est ce qu'il y'a des idées ??

[jlb]

bonjour
on doit même pouvoir améliorer la majoration avec exp(ln(2)+0,25) à la place de 3

(tout cela sous réserve de grosses erreurs, comme d'hab!!!, commence par prendre le ln du membre de gauche et utilise ln(1+u)=<..., il restera qlq petits calculs astucieux, bon courage!!!)

[adrien69]

bonjour
on doit même pouvoir améliorer la majoration avec exp(ln(2)+0,25) à la place de 3

C'est une question d'esthétique je pense. Il vaut mieux mettre 3 qu'un truc aussi moche

[jlb]

C'est une question d'esthétique je pense. Il vaut mieux mettre 3 qu'un truc aussi moche

Oui, et... non, avec le majorant que je propose cela donne pas mal d'infos(trop?) sur la démarche, je pense.
Mais bon il y a peut-être d'autres façons pour obtenir le résultat? J'ai galéré pour trouver cette astuce, le ln ça coule de source, après j'ai regardé Wiki pour la somme des inverses des cubes, j'ai ensuite bourriné avec la somme des inverses des carrés( sans succès) et enfin, j'ai eu l'illumination :lol3: mais bon j'aurais pu ne jamais l'avoir!!! mes ampoules ne sont pas souvent branchées!!! et je me suis même, d'ailleurs,peut-être planté!!

[adrien69]

À savoir :
On a toujours

dès que est une suite à valeurs positives.

En l'occurence, comme

On a déjà que c'est inférieur à 6.

Pour avoir encore plus précis, il faut mieux estimer la somme, pas facile étant donné que c'est sur les nombres impairs qu'on bloque pour la fonction zêta de Riemann. Alors comment fait ? Comparaison série intégrale pardi !

La somme qu'on a ici est inférieure à , ce qui vaut 1.5 si je ne m'abuse. Et donc on arrive à majorer par 4.5, ou plutôt 5 pour faire joli.

On continue, parce qu'on est inlassable : la somme est aussi inférieure à
et comme on a presque le résultat.

Je m'arrête là, mais en fait il suffit de pousser jusque 10 le calcul et on trouve le truc. T'as fait comment jlb ?

[jlb]

l'illumination c'est 1/k^3=<1/((k-1)(k+1)k) et décomposition en éléments simples. Cela se télescope bien en sommant { d'ailleurs c'est l'objet d'un exo traité par Chan en juillet ou aout}

[adrien69]

Ah tiens, il y a plus simple, oublier le premier terme du produit dans la majoration et le remettre après.

[adrien69]

l'illumination c'est 1/k^3=<1/((k-1)(k+1)k) et décomposition en éléments simples. cela se télescope bien en sommant, d'ailleurs c'est l'objet d'un exo traité par Chan en juillet ou aout ( j'ai pas grillé tous mes neurones, cela me surprend encore!!!)

Pas mal, mais beuuuurk !

[adrien69]

Si j'oublie le premier terme, je me retrouve à majorer brutalement (avec ma comparaison série intégrale) par 2*exp(0.5), soit 3,2... Faudrait aussi faire joujou avec les premiers termes en fait.

[jlb]

Ah tiens, il y a plus simple, oublier le premier terme du produit dans la majoration et le remettre après.

Oui, j'utilise la même astuce.

[Sans aucun rapport, une personne a demandé les différences(il y a qlq semaines) entre intégrales de Riemann et Lebesgue. J'ai tenté une réponse mais je suis limité, pas vraiment de recul, c'est quoi l'historique de sa création: je dirai: faciliter pour les échanges de limite, augmenter la classe de fonctions intégrales mais bon je raconte peut être n'importe quoi!!! si tu retrouves le post et que tu es motivé, tes lumières sont les bienvenues, allez hop c'est la rentrée au boulot Adrien :lol3: ]

[adrien69]

En oubliant deux termes j'arrive à majorer par 2.55

YATA !

[jlb]

Ah tiens, il y a plus simple, oublier le premier terme du produit dans la majoration et le remettre après.

Oui, j'utilise la même astuce.

[Sans aucun rapport, une personne a demandé les différences(il y a qlq semaines) entre intégrales de Riemann et Lebesgue. J'ai tenté une réponse mais je suis limité, pas vraiment de recul, c'est quoi l'historique de sa création: je dirai: faciliter les échanges de limite, augmenter la classe de fonctions intégrales mais bon je raconte peut être n'importe quoi!!! si tu retrouves le post et que tu es motivé {ou une autre bonne volonté}, vos lumières sont les bienvenues, allez hop c'est la rentrée au boulot Adrien :lol3: ]

[adrien69]

Trouvé

Je vais y réfléchir, mais déjà il faut savoir que les deux notions coïncident dès lors que l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle. Donc presque tout le temps en fait.

Je trouve ça assez beau. On a tendance à dénigrer Riemann au profit de Lebesgue alors que celui-ci implique en fait presque Lebesgue.

D'autre part sur R, toute fonction mesurable bornée (donc une grande partie des Lebesgue intégrables) est en fait limite monotone simple d'une suite de fonction continues bornées (c'est une équivalence si on sait dès le départ que la fonction est bornée, sinon il faut que la borne de la suite soit uniforme), et le théorème de convergence monotone assure l'interversion limite intégrale. Et ça c'est quand même très proche des fonctions Riemann-intégrables de par ce superbe théorème.

Mais bien entendu, l'intégration de Lebesgue est plus forte que celle de Riemann, ne serait-ce que pour ces fonctions (ces seules fonctions dirais-je) ayant un peu beaucoup trop de points de discontinuité.

Comme je l'ai dit, je vais y réfléchir.