Une ligne droite

[beagle]

de wiki pour les plus jeunes, ou ceux-ce peu encombrés de connaissances:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_(math%C3%A9matiques)
les liens wiki ne passent plus?, faut chercher 2 fois droite maths pour trouver.

"Pour Euclide :

une ligne est une longueur sans largeur;
et une ligne droite est une ligne également placée entre ses points.

Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points distincts passe une droite) et d'un autre appelé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites ( Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données."

Que signifie une ligne également placée entre ses points?

[bfure]

Définition d'une ligne droite :

D est une ligne droite ssi :

1- Ligne : D ne contient aucun ensemble ouvert non nul
2- Droite : qqs a et b éléments de D, le plus petit ensemble continu contenant a et b est inclus dans D

Les 2 conditions ci-dessus définissent un segment de droite.

3- une ligne droite infinie peut être définit par la condition suivante :
qqs un point a élément de D, il existe 2 points b et c éléments de D distincts et différent de a tel que
a soit élément du plus petit ensemble continu contenant b et c

Cette définition ne fait appel à aucune notion de repère orthonormé ni de vecteur mais seulement à la théorie des ensembles et quelques notions simples de topologie. Elle peut donc s'appliquer à des espaces topologiques non euclidiens et non métriques.

[Ben314]

Concernant les "notions simples de topologie", je voudrait bien savoir comment tu définit :
1) Un ensemble "continu"
2) la notion de "plus petit" parmi les ensembles continus.
Et, bien entendu , tes définitions ne peuvent se référer à l'ensemble des réels vu que c'est le "modèle" d'une droite...

[beagle]

Ben, que signifie la phrase de wiki:
"une ligne également placée entre ses points?"

[bfure]

Merci pour ces questions

1- D est continu ssi
qqs un point a élément de D, qqs V(a) voisinage de a inclut dans D,
il existe b élément de D tel que b est élement de V(a)

2- A "est le plus petit" des ensembles continus de D ssi
qqs B ensemble continu de D, il existe une fonction f surjection de B vers A.

On peut montrer que A existe et est unique par l'absurde en effet A n'existe pas implique D est vide

Ces définitions ne font appel à aucune notion des distances.

Pour répondre à la notion d'une droite :
Tous les espaces topologiques ne sont pas censés inclure des lignes droites :

[vincentroumezy]

Et Ben, définis un plan.

[nodjim]

Ben, que signifie la phrase de wiki:
"une ligne également placée entre ses points?"

Peut être cette explication ?
On tend un fil entre 2 points quelconques de la ligne, c'est une droite si le fil se superpose à la ligne. ça suppose que le fil tendu est considéré comme un segment de droite.

[Imod]

On tend un fil entre 2 points quelconques de la ligne, c'est une droite si le fil se superpose à la ligne. ça suppose que le fil tendu est considéré comme un segment de droite.

Il me semble qu'il y a quelque chose d'essentiel que tu n'as pas compris : aucun "objet" mathématique n'existe ailleurs que dans l'esprit du mathématicien . Il n'y a pas de droite , de point , de segment , d'espace affine , ... dans la nature . Toute construction mathématique s'établit à partir d'axiomes admis et de définitions . La droite est définie dans plusieurs contextes non contradictoires ( on l'espère ) comme ça déjà été évoqué par Jord et Ben , espace affine de dimension 1 , ensemble des réels ou autres . Après si tu veux une définition sensible , tu vas créer une multitude de problèmes sans intérêt et insolubles .

Ce n'est que mon avis :zen:

Imod

[beagle]

"Il me semble qu'il y a quelque chose d'essentiel que tu n'as pas compris : aucun "objet" mathématique n'existe ailleurs que dans l'esprit du mathématicien . Il n'y a pas de droite , de point , de segment , d'espace affine , ... dans la nature ."

hum, possible, mais je ne comprends pas assez vecteur pour ne pas critiquer cette notion également dans ce qu'elle accepte de présupposé.
Une ligne droite existe dans la nature, comme le dit nodjim en tendant un fil, en mettant un plomb à une ficelle etc...
Après mathématiquement ce que cela recouvre ...
Donc on peut jouer avec nodjim, continue nodjim ...

[Imod]

Tu peux jouer mais tu ne fais pas des maths :zen:

Imod

[nodjim]

Il me semble qu'il y a quelque chose d'essentiel que tu n'as pas compris : aucun "objet" mathématique n'existe ailleurs que dans l'esprit du mathématicien . Il n'y a pas de droite , de point , de segment , d'espace affine , ... dans la nature . Toute construction mathématique s'établit à partir d'axiomes admis et de définitions . La droite est définie dans plusieurs contextes non contradictoires ( on l'espère ) comme ça déjà été évoqué par Jord et Ben , espace affine de dimension 1 , ensemble des réels ou autres . Après si tu veux une définition sensible , tu vas créer une multitude de problèmes sans intérêt et insolubles .

Ce n'est que mon avis :zen:

Imod

Sans doute, mais l'axiome n'est pas créé à partir du néant. Le concept de ligne droite est facile, parce que familier. Or sa familiarité vient directement de notre perception. Maintenant, pour le fil tendu, je veux bien que tu trouves autre chose, je tentais de comprendre cette mystérieuse phrase d'Euclide.
Et ta réflexion me fait penser que tu sembles te trouver dans la catégorie des gens qui estiment que les mathématiques sont inventées, alors que d'autres personnes diront que c'est plutôt de la découverte. C'est selon.

[beagle]

Tu peux jouer mais tu ne fais pas des maths :zen:

Imod

Bon, au-delà des taquineries Dominique,
le gars qui a fait l'article sur wiki, il devait ètre mathématicien,
et il semble connaitre Euclide, ou alors ila connu Euclide,
donc cela signifie quoi sa phrase:
"une ligne également placée entre ses points"

et tu peux expliquer ce que Euclide pensait-disait-définissait-axiomatisait de la droite, avant l'invention du vecteur à vapeur.
En vous remerciant d'avance.

[bfure]

Nodjim définit un segment de droite dans le cas particulier d'un espace Euclidien.

Maintenant dans l'espace topologique définit comme étant la surface de la terre, l'équateur est une droite or dans l'espace euclidien classique ce serait plutôt une sorte de cercle imparfait.

[bfure]

Et Ben, définis un plan.

Un plan est la réunion des points compris dans des droites ayant un point commun unique avec 2 droites distinctes ayant elles-mêmes un point commun unique.

De même, on peut généraliser la notion d'espace.

[Doraki]

Mais non voyons, si on commence par définir une droite comme intersection de deux plans, il faut dire qu'un plan est l'intersection de deux espaces quand on est en dimension 4.

[bfure]

Oui doraki, nous sommes d'accord, et cela ne remet pas en question la définition d'n plan

[beagle]

ce qui permet d'avoir un plan pour définir la droite

[Imod]

Bon , c'est du grand n'importe quoi et ça sera sans moi :triste:

Imod

[beagle]

Bon , c'est du grand n'importe quoi et ça sera sans moi :triste:

Imod

tu ne réponds pas à une question très claire,
la phrase de wiki ne l'est peut-ètre pas , mais ma question est claire.
Et ce que j'ai demandé juste derrière l'est aussi.
Mais personne n'est obligé de répondre non plus.
Ne dis pas qu'il n' y a pas de matière.
Il y a certainement sur ce forum des gars de mon faible niveau,
et des fois cela n'empèche pas Ben de m'expliquer intuitivement des trucs comme Lebesgue and co.
Donc il y a possibilité de répondre.
Maintenant, je comprends qu'on ne puisse avoir la fibre pédagogique de répondre tout le temps à tout le monde.
Donc , je le répète, c'est à votre bon coeur.

[Ben314]

Ben, que signifie la phrase de wiki:
"une ligne également placée entre ses points?"

A mon avis, c'est la traduction "plus ou moins mot à mot" de ce qu'euclide à écrit (sans doute en grec...) et je ne suis pas persuadé que le "matheux" (si s'en est un) qui a fait l'article de Wiki ait "tout bien compris" ce que voulais dire euclide par là (En tout cas, moi, j'ai pas trop d'idée sur ce qu'il voulait dire, peut être en rapport avec la notion d'alignement des points ?)

1- D est continu ssi
qqs un point a élément de D, qqs V(a) voisinage de a inclut dans D,
il existe b élément de D tel que b est élement de V(a)
2- A "est le plus petit" des ensembles continus de D ssi
qqs B ensemble continu de D, il existe une fonction f surjection de B vers A.

Donc, avec tes définitions, par exemple tout ensemble D d'interieur vide est "continu" (vu que pour tout a de D, comme il n'existe pas de voisinage de a contenu dans D, ils vérifient bien "tous" absolument ce qu'on veut) et le terme "le plus petit" est au sens de la cardinalité donc (toujours par exemple), R² tout entier (qui est continu) est "plus petit" qu'un segment (qui lui aussi est continu).
Avec ça, effectivement, c'est "carré-carré" le "plus petit" ensemble "continu" contenant deux point A est B est clairement le doubleton {A,B} : il est "continu" et je vois pas comment tu ferais moins que deux éléments...

Et Ben, définis un plan.

Ma "définition" : "...une droite du plan comme l'intersection de ce plan avec un autre plan non parallèles à celui dans lequel on travaille" était là pour montrer quelles "aneries" on peut écrire lorsque l'on s'autorise à définir des objets simples à l'aide d'autres plus compliqués : je vois pas trop comment on peut définir (raisonablement) ce qu'est un plan AVANT d'avoir défini ce qu'est une droite !!!!