Une ligne droite

[nodjim]

Bonjour à tous.
Comme suite aux sujets récents sur l'acceptabilité des évidences, je pose une question bien simple:
Comment définir une ligne droite ? Si on me répond c'est simple, dans un repère orthonormé, c'est une fonction de la forme y=ax+b. Certes, mais le repère orthonormé utilise 2 lignes droites pour sa construction. Retour à la case départ.
Alors, c'est quoi une ligne droite ?

[Ben314]

Dans la "pure ligne bourbakiste", partant des axiomes de ZF :
Les axiomes assurent quasi direct l'existence de N qui permet de construire Z puis Q puis R puis R² qui est muni d'une structure d'espace affine et les droites sont (définition) les sous espaces affines de dimension 1.

Si on part d'une axiomatisation de la géométrie, celles que je connait mettent les "droites" dans les axiomes, c'est à dire que les droites ne sont pas "définies" mais préexistent...

[vincentroumezy]

Placons nous dans un plan.
Une droite est une courbe continue dont on peut prendre un nombre arbitraire de points qui sont alignés.

[nodjim]

Dans la "pure ligne bourbakiste", partant des axiomes de ZF :
Les axiomes assurent quasi direct l'existence de N qui permet de construire Z puis Q puis R puis R² qui est muni d'une structure d'espace affine et les droites sont (définition) les sous espaces affines de dimension 1.

Si on part d'une axiomatisation de la géométrie, celles que je connait mettent les "droites" dans les axiomes, c'est à dire que les droites ne sont pas "définies" mais préexistent...

Bof, bof, pas super super comme définition.

[nodjim]

Placons nous dans un plan.
Une droite est une courbe continue dont on peut prendre un nombre arbitraire de points qui sont alignés.

D'accord, mais que sont des points alignés ?

[beagle]

http://www.maths-forum.com/difficile-d-111362.php

Surtout lire beagle.

[nodjim]

Après lecture, rien de concluant. Redonne ta définition, si tu en as une qui te semble blindée.

[beagle]

tout que je fasse quoi!

Une droite est un ensemble de points, tes que pour tout 3 points A,B,C de cet ensemble,
longueur AB + longueur BC = longueur AC

(longueur AB = chemin le plus court de A vers B

chemin le plus court = la plus petite corde allant de A vers B

corde = pas élastique)

[nodjim]

Je trouve ça acceptable.

[Nightmare]

Je trouve ça acceptable.

Salut,

moi je ne la trouve pas du tout acceptable. Dans un premier temps, d'après la définition, l'ensemble vide, un point et n'importe quel ensemble fini de point est une droite... Ensuite, en admettant qu'on rajoute la condition "un ensemble infini de points tels que ..." ben ça ne définit toujours pas une droite, car quel que soit l'ensemble de point S considéré (droites ou non), pour trois points A, B et C quelconques, l'égalité proposée par beagle est toujours vérifiée !

Je pense que la réponse la plus "acceptable" est celle de Ben.

[Imod]

Si on a décidé d'axiomatiser les mathématiques , ce n'est pas par hasard ... et ce n'est pas tout neuf Euclide avait déjà commencé avec la géométrie .

Sinon , c'est laisser porte ouverte à tous les paradoxes que l'on connaît .

Imod

[nodjim]

Ma réponse était toute provisoire, et j'aurais dû écrire "provisoirement acceptable". Car bien entendu on peut avoir un ensemble de points qui réponde à la définition de Beagle sans être une droite.
La réponse de Ben, OK, un sous espace affine de dim 1, mais bon la description n'est pas très explicite. Ou alors en géométrie, il dit que les droites préexistent, et ça ne répond pas à la question.

Beagle introduit la notion de longueur, et je crois bien que gémétriquement on aura du mal à éviter ce concept. J'ai aussi une définition qui a besoin de la notion de distance, et une autre non: En gros une droite est une fractale.

Alors c'est quoi une droite ?

[bfure]

La droite n'est pas forcément infinie, de plus elle n'a pas forcément une dimension, plus généralement on pourrait dire que c'est un ensemble non nul qui ne contient aucun ouvert topologique non nul.

[Nightmare]

Ma réponse était toute provisoire, et j'aurais dû écrire "provisoirement acceptable". Car bien entendu on peut avoir un ensemble de points qui réponde à la définition de Beagle sans être une droite.
La réponse de Ben, OK, un sous espace affine de dim 1, mais bon la description n'est pas très explicite.

Pour moi c'est très explicite, une droite c'est un espace engendré par un vecteur, c'est aussi une définition qu'on prend en géométrie. Pour une définition géométrique intrinsèque, comme on te l'a dit, il semble vain d'essayer d'en trouver une "correcte".

Et toi qu'en penses-tu?

[nodjim]

Si on a décidé d'axiomatiser les mathématiques , ce n'est pas par hasard ... et ce n'est pas tout neuf Euclide avait déjà commencé avec la géométrie .

Sinon , c'est laisser porte ouverte à tous les paradoxes que l'on connaît .

Imod

ça veut dire pour toi que la droite est un axiome, donc une évidence ? Tout est dit!

[nodjim]

Pour moi c'est très explicite, une droite c'est un espace engendré par un vecteur, c'est aussi une définition qu'on prend en géométrie. Pour une définition géométrique intrinsèque, comme on te l'a dit, il semble vain d'essayer d'en trouver une "correcte".

Et toi qu'en penses-tu?

Pour l'instant pas grand chose. J'avais en tête cette définition: 2 lignes parallèles sont droites si, quel que soit l'extrait qu'on découpe perpendiculairement, les 2 segments de cet extrait ont la même longueur.
Beagle aurait pu exprimer sa définition de cette manière: Une ligne est droite si, quels que soient 3 points pris au hasard sur cette ligne, la somme des 2 distances entre le point intérieur et chacun des points extrêmes est égale à la distance entre les 2 points extrêmes.

Définition fracale (bancale): Une ligne est droite si, quel que soit l'extrait qu'on en fait, on voit toujours le même dessin.

[beagle]

Salut,

moi je ne la trouve pas du tout acceptable. Dans un premier temps, d'après la définition, l'ensemble vide, un point et n'importe quel ensemble fini de point est une droite... Ensuite, en admettant qu'on rajoute la condition "un ensemble infini de points tels que ..." ben ça ne définit toujours pas une droite, car quel que soit l'ensemble de point S considéré (droites ou non), pour trois points A, B et C quelconques, l'égalité proposée par beagle est toujours vérifiée !

Je pense que la réponse la plus "acceptable" est celle de Ben.

D'accord Night, mais reconnais que si j'étais plus baraqué que Ben, tu dirais pas ça.
Donc, un vecteur je connais mal, mais il me semble que cela ne décrit pas UNE droite, si?
"J"'avais surtout défini la droiture plus que la droite, laissant libre la possibilité de définir un segment, demie-droite ...

Donc on définit une droite par 2 points A et B, et c'est l'ensemble des points M tels que plus petite longueur(entre ABM) +moyenne longueur(entre ABM) = la grande longueur (entre ABM)

C'est quoi qui cloche maintenant?(que j'essaye d'améliorer).

PS: après relecture moins rapide du fil, nodjim dit de façon plus élégante que moi:
"la somme des 2 distances entre le point intérieur et chacun des points extrêmes est égale à la distance entre les 2 points extrêmes."

[beagle]

Il me semble qu'en géométrie euclidienne on utilise, on définit la ligne droite entre A et B comme le chemin le plus court entre A et B.
Donc, on peut se servir de ce présupposé pour définir la droite elle-mème, non?

Au-delà des autres définitions possibles,...

Non?

[Ben314]

Le problème avec toutes vos "définitions", c'est qu'elles supposent déjà connues la notion de distance entre deux points ou celle de perpendicularité ou celle de ... qui me semblent assez clairement être des notions plus compliquées que celle de "points alignés" : vous utilisez donc des concepts (un peu) compliqués pour pouvoir définir des concepts simples... :triste:

Dans le même genre de "définition", pourquoi ne pas définir tout simplement une droite du plan comme l'intersection de ce plan avec un autre plan non parallèles à celui dans lequel on travaille...

[beagle]

Je pense qu'une notion comme droite peut se définir à différents niveaux qui peuvent s'enrichir.
Le niveau que l'on peut avoir à l'école primaire,
le niveau collège,
le niveau vectoriel du lycée,
et plus encore comme certains pros du site nous le propose.

au départ, il y a juste un jeu, vous avez besoin de quoi pour ...

Perso, je l'ai dit, il me semble qu'on utilise à un certain niveau la notion de plus court chemin pour aller d'un point à un autre.


L'intersection de deux plans de Ben est "très simple".J'aime bien aussi.