Une intégrale

[aviateur]

Bonjour
Je suis tombé sur cette intégrale posée quelque part. Elle est pas très méchante mais tout de même (approximativement niveau Bac+2) . Je la pose donc en énigme
Calculer

[mathelot]

Bonjour aviateur!

on pourrait commencer par montrer qu'elle est définie,i.e, que
et
le sont

[aviateur]

Pour l'intégrabilité c'est direct car au voisinage de 0,
et au voisinage de

[Ben314]

Salut,

.

.

[aviateur]

Oui c'est ça.
Précisons que la somme
et une série de Riemann qui se calcule par exemple en considérant la fonction sur
On calcule sa série de Fourier et on applique Parseval.

[Lostounet]

Sans aucune justification bien sûr :p



Edit: Jolie solution Ben...

[Ben314]

@Lostounet (juste pour voir...) : comment tu justifie ton interversion série/intégrale entrer ta première et ta deuxième ligne ?

[Lostounet]

@Lostounet (juste pour voir...) : comment tu justifie ton interversion série/intégrale entrer ta première et ta deuxième ligne ?

En appliquant Fubini-Tonelli avec une intégrale par rapport à la mesure de comptage et l'autre la mesure de Lebesgue ?

Tout est positif...

[Ben314]

Ca marche

[Lostounet]

Ca marche

Si tu voulais me défoncer tu aurais pu me demander de faire avec seulement les théorèmes à Bac+2 :p
J'ai un peu oublié les hypothèses et ... J'ai pas eu besoin de les revoir avec ce que j'ai appris par la suite...
(Et je sais pas "retrouver" ces hypothèses sans du par coeur).

[Sa Majesté]

Sans aucune justification bien sûr :p

Petite coquille

[Lostounet]

Oui sorry j'ai écrit 2 mais je voulais dire 4 :p