Une inégalité trigonométrie

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Clembou
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Une inégalité trigonométrie

par Clembou » 28 Oct 2011, 22:37

Bonsoir à tous,

Voici un petit défi qui j'espère vous amusera.

Montrer que, pour tout



Bon courage à tous !



Zweig
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par Zweig » 28 Oct 2011, 23:14

Salut,

Par symétries, on peut se contenter de l'intervalle

On pose et . Alors et .

On peut alors déterminer le variations, donc le signe de .

LeJeu
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par LeJeu » 28 Oct 2011, 23:28

je tenterais plutot la piste en 0 et PI /2

cos²(x) <= tan(cos(x)) <= tan(cos( sin( x))) ?

Clembou
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par Clembou » 28 Oct 2011, 23:53

LeJeu a écrit:je tenterais plutot la piste en 0 et PI /2

cos²(x) <= tan(cos(x)) <= tan(cos( sin( x))) ?


Explicite moi le passage (je suis convaincu sur un graphique mais...) Et puis il faut aussi préciser que ton inégalité est vraie aussi pour

LeJeu
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par LeJeu » 29 Oct 2011, 00:06

Sauf erreur on est maintenant sur :

entre 0 et PI /2

tg ( x) > x ² ?

[EDIT] >= bien sûr

Clembou
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par Clembou » 29 Oct 2011, 11:37

D'accord mais encore faut-il le prouver ;)

Zweig
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par Zweig » 29 Oct 2011, 15:49

Via une étude de fonction ?

On pose . Alors , donc est croissante sur , donc en particulier sur [0, pi/2[. Et l'image de cet intervalle par (qui est une fonction continue sur cet intervalle) vaut [0, +\infty[, cqfd.

LeJeu
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par LeJeu » 29 Oct 2011, 17:32

Clembou a écrit:D'accord mais encore faut-il le prouver ;)


Tu chipotes ... je dirais que par rapport à le ( pseudo) complexité du départ on est arrivé au bout ?

A ce stade on est presque autorisé à tracer les deux fcts ?

(ou pour le moins à tracer les deux dérivées : ( 1/cos(x)^2 et 2x))

NON ?

en tous cas l'embrouille du départ semble maitrisée? ( tan(cos(sin)))

 

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