Une inégalité trigonométrie
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Clembou
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par Clembou » 28 Oct 2011, 21:37
Bonsoir à tous,
Voici un petit défi qui j'espère vous amusera.
Montrer que, pour tout
Bon courage à tous !
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Zweig
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par Zweig » 28 Oct 2011, 22:14
Salut,
Par symétries, on peut se contenter de l'intervalle
On pose
et
. Alors
et
.
On peut alors déterminer le variations, donc le signe de
.
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LeJeu
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par LeJeu » 28 Oct 2011, 22:28
je tenterais plutot la piste en 0 et PI /2
cos²(x) <= tan(cos(x)) <= tan(cos( sin( x))) ?
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Clembou
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par Clembou » 28 Oct 2011, 22:53
LeJeu a écrit:je tenterais plutot la piste en 0 et PI /2
cos²(x) <= tan(cos(x)) <= tan(cos( sin( x))) ?
Explicite moi le passage
(je suis convaincu sur un graphique mais...) Et puis il faut aussi préciser que ton inégalité est vraie aussi pour
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LeJeu
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par LeJeu » 28 Oct 2011, 23:06
Sauf erreur on est maintenant sur :
entre 0 et PI /2
tg ( x) > x ² ?
[EDIT] >= bien sûr
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Clembou
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par Clembou » 29 Oct 2011, 10:37
D'accord mais encore faut-il le prouver ;)
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Zweig
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par Zweig » 29 Oct 2011, 14:49
Via une étude de fonction ?
On pose
. Alors
, donc
est croissante sur
, donc en particulier sur [0, pi/2[. Et l'image de cet intervalle par
(qui est une fonction continue sur cet intervalle) vaut [0, +\infty[, cqfd.
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LeJeu
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par LeJeu » 29 Oct 2011, 16:32
Clembou a écrit:D'accord mais encore faut-il le prouver
Tu chipotes ... je dirais que par rapport à le ( pseudo) complexité du départ on est arrivé au bout ?
A ce stade on est presque autorisé à tracer les deux fcts ?
(ou pour le moins à tracer les deux dérivées : ( 1/cos(x)^2 et 2x))
NON ?
en tous cas l'embrouille du départ semble maitrisée? ( tan(cos(sin)))
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