Une inégalité non-homogène ( Darij - 2004 )

[Olympus]

Bonsoir !

Voici cette fois-ci une inégalité bien intéressante ( certes elle est tirée d'une liste de "Warm-up problems", mais elle est quand même intéressante ^^ ) :

Montrer que, , .

J'en profite aussi pour poser une petite question : est-il possible d'introduire une certaine condition sur afin de rendre l'inégalité homogène ( par exemple )? Parce que, j'ai bien sûr démontré l'inégalité ci-dessus, mais j'ai du m'en sortir avec une somme semi SOS ( sum of squares ) ... un terme faisant intervenir une inégalité célèbre ( je ne donnerais pas le nom pour ne pas vous gâcher la surprise cette fois-ci :we: ), l'autre terme est un carré, donc c'est pas 100% une somme de carrés mais la solution "marche" ... Je me demandais donc s'il était possible d'homogénéiser l'inégalité afin d'avoir plus de chances de réécrire sous forme de sommes de carrés .

Merci et bonne chance !

[Ben314]

Une méthode toute "con-con" : la mise sous forme canonique.




Ce qui montre que si alors . Par symétrie, on a aussi lorsque .

Reste le cas où et sont . Dans ce cas, on a et la formule montre que le minimum en de est atteint lorsque .
La formule montre alors que ce minimum vaut

[Olympus]

Joli, moins bourrin que la mienne :we:

Ma solution ( sans homogénéisation car je n'y arrive pas, cf. ma question ) :

On pose .

Donc



Ce qui est clairement positif car le premier terme est positif selon l'inégalité de Schur, et le reste est sous forme de somme de carrés .

[Olympus]

Une autre approche serait de prouver que avec Schur et AM-GM, et ensuite remarquer que par AM-GM .

[Doraki]

On peut supposer sans perte de généralité que (a-1)(b-1) est positif.
Alors S = (c-1)² + (a-b)² + 2c(a-1)(b-1).

Si on veut faire un truc sans étude de cas, on peut mettre S sous forme de fraction, mais c'est assez immense :

En posant x = (a-1)²+(b-c)², y=(b-1)²+(a-c)², z=(c-1)²+(a-b)² ,
On peut dire que
(S-x)(S-y)(S-z) = 8abc(a-1)²(b-1)²(c-1)²,

et donc pour (a,b,c) différent de (1,1,1),

[Olympus]

@Doraki : Joli aussi, comme quoi il y a mille façons de réécrire sous forme de somme de carrés ^^

Sinon pour ma question initiale, peut-on supposer quelque chose sur , ou afin d'arriver à homogénéiser l'inégalité ? J'ai vu que ça se faisait avec des inégalités homogènes afin de les rendre non-homogènes ( normalisation ), mais je ne sais pas si ça se fait aussi inversement ( homogénéiser une inégalité non-homogène, sans aucune condition initiale ) .

[Doraki]

Non, si tu fais ça, tu perds en généralité, et t'obtiens juste un sous-cas du truc à prouver.
Par contre tu peux rajouter une 4ème variable d et essayer de montrer que pour a,b,c,d >= 0, a²d+b²d+c²d+2abc+d³ >= 2d(ab+bc+ca), ce qui est un problème équivalent au problème de départ.

[Olympus]

Non, si tu fais ça, tu perds en généralité, et t'obtiens juste un sous-cas du truc à prouver.
Par contre tu peux rajouter une 4ème variable d et essayer de montrer que pour a,b,c,d >= 0, a²d+b²d+c²d+2abc+d³ >= 2d(ab+bc+ca), ce qui est un problème équivalent au problème de départ.

Merci pour l'astuce, j'essaierai :we:

[Olympus]

J'ai trouvé ( je crois )

On suppose .

Il est clair que .

Donc .

EDIT : pas fait gaffe, l'inégalité n'est pas symétrique ... je ressaie !

[Zweig]

On a le droit d'imposer des contraintes de ce style que si l'inégalité est homogène. Je m'étais moi-même posé la question il y a quelques années de cela ... : http://boumbo.toonywood.org/mathetdelire/forum/viewtopic.php?p=35553&highlight=#35553

Un PDF qui démontre le fait qu'on ait le droit de faire ça circule sur Mathlinks, mais impossible d'y remettre la main dessus :

[Zweig]

Au passage, il existe une technique inventée par un viet du forum Mathlinks qui permet de ramener toute inégalité homogène à 4 variables a, b, c et d à une inégalité homogène de 3 variables x, y et z. Il montre astucieusement avec le théorème de Rolle qu'il existe de tels réels (liés bien sûr à a, b, c et d) et donc ... on peut utiliser toute la "théorie" (dont il en est aussi l'auteur) autour des inég homogènes à 3 variables via les changements de variables p = x+y+z, p = xy+xz+yz, r = xyz (toute inégalité homogène à 3 variables peut s'exprimer à l'aide de p, q et r).

J'essaierai de retrouver le PDF à l'occasion.

[Olympus]

@Zweig : Ce ne serait pas le même auteur des théorèmes SOS ( sum of squares ), SID ( symmetric inequalities of 3rd ( ou 4th, me rappelle plus ) degree ) et CID ( cyclic inequalities of 3rd ( ou 4th ) degree ) ? ( Pham "quelque chose" ) ? Il m'impressionne lui oO

EDIT : sur ce, je fais une pause pour quelques jours à cause des exams que j'ai ... mais je me consacrerai totalement à l'inégalité une fois les exams terminés :D

[Zweig]

Ouep, c'est lui !