@Rebonjour Lostounet.
D'abord cet exercice je ne sais pas le faire. Et puis c'est une version "duale" d'un exercice posé sur un autre forum où tout le monde sèche.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1484510Tu verras que c'est le même problème en appliquant Cauchy-Schwarz à leur problème.
i.e x1=(a^3/(a+b))1/2 ; x2 = (b^3/(b+c))1/2 ; x3 = (c^3/(c+a))1/2 et y1=(a^3(a+b))1/2 ; y2 = etc ....
Leur problème de minimum devient maintenant équivalent à un problème de maximum.
C'est à dire :
sous la contrainte a^3+b^3+c^3=3, a,b,c positifs démontrer que
Le problème tel que je l'ai posé ici est absolument analogue sauf que j'ai fait un changement d'échelle.
D'abord j'ai vérifié numériquement que l'inégalité est vraie. Elle est atteinte en (a,b,c)=(1,1,1).
Ensuite j'essaie la méthode suivante (qui doit être je pense équivalente à la méthode des multiplicateurs):
J'appelle S la surface d'équation a^3+b^3+c^3-3=0.
Le vecteur gradient de la surface est à un facteur près (a^2,b^2,c^2). Autrement dit
les vecteurs u_1=(b^2,-a^2,0) et u_2=(c^2,0,-a^2) forme une base du plan tangent à S au point
x_0=(a,b,c).
Je considère f_1(h)=g(x_0+h u_1) et f_2(h)=g(x_0+h u_2) et on a un point critique (un point avec extremum
local) ssi f_1'(0)=f_2'(0)=0.
J'ai donc un extremum à l'intersection des trois surfaces S, et celles d'équation f_1'(0)=0 et f_2'(0).
Le problème avec ce genre de méthode c'est que l'on croit que ça marche bien mais en général c'est incalculatoire.
J'ai donc poursuivi malgré tout les calculs. Les trois équations sont des équations polynomiales, j'ai donc avec Bezout (ou plus simplement avec la méthode des résultants, matrice de Sylvester) j'ai donc calculé les valeurs de c où il y a un point critique.
(Calculs fait avec un logiciel car trop long).
Les point critiques sont connus si je trouve les solutions c dans [0,3^(1/3)] du polynôme résultant final P(c)=0
qui est de degré 225. Bien sûr je trouve c=1 ->(a,b,c)=1.
Mais le problème c'est qu'il y a d'autres points critiques qui correspondent à des minimums et que je ne peux pas calculer exactement. Donc c'est foutu. Cette méthode aurait marché si les minimum avaient été aux bords de la surface.
En fait sur math.net, ils ont trouvé le sujet sur un site étranger où le gars est spécialisé dans les inéquations.
Mais là aussi il n'y a pas de réponses.
L'intérêt dans ce genre de problème c'est que quelqu'un peut trouver une solution avec des connaissances élémentaires.
Mais en tout cas visiblement c'est un problème difficile.
C'est bien une enigme!!