Une fonction bizarre

[chan79]

Salut à tous
Les habitués du forum connaissent, mais je le mets quand même pour les autres.
On considère la fonction de ]0;1[ dans définie ainsi:
Si x est irrationnel, alors f(x)=0
Si x est rationnel ( x =a/b avec a et b entiers, premiers entre eux) alors f(x)=1/b
Démontrer que f continue en tout x irrationnel et discontinue en tout x rationnel.

[Lostounet]

J'aime beaucoup cette fonction.

D'ailleurs je me demande si elle est dérivable (ou peut être rendue dérivable) sur les irrationnels?

Y'a-t-il une fonction continue en les rationnels mais pas en les irrationnels? Ça existe? Je crois que non mais on sait jamais

[Ben314]

Salut,
Si on prend la même chose que ce qu'a donné chan79 comme fonction, sauf qu'on pose f(a/b)=1/3^b, la fonction f est dérivable sur tout les irrationnels qui ne sont pas des nombres de Liouville ce qui signifie en particulier qu'elle est dérivable presque partout (i.e. sur le complémentaire d'un ensemble de mesure de Lebesgue nulle).

Sinon, concernant l'ensemble de discontinuité, tu as le Théorème de Froda qui donne des information concernant les discontinuité de première espèce (au plus dénombrable).

Et sinon, concernant ta question elle même, tu trouvera la réponse par exemple là (application 4).
Et vu que tu as posé la question, ben je t'incite à démontrer la proposition 8 ainsi que le fait que cette proposition implique effectivement l'application 4.

[Lostounet]

Salut Ben,
Tu voulais parler de la proposition 3 juste avant non?

Dans ce cas ...
On regarde l'ensemble des points de discontinuité de la fonction f.
Enfin ça me rappelle un peu le TD sur le théorème de Baire avec l'ensemble de continuité d'une dérivée...

Si on montre que l'on a une réunion de fermés d'intérieur vide de R (complet) ...

Juste une vague idée..

[Ben314]

Salut Ben,
Tu voulais parler de la proposition 3 juste avant non?

Oui : l'afficheur de PDF de Firefox m'affiche un truc pas mal crado, j'avais lu un 8 et j'avais même pas réfléchi que juste avant le 4, ça risquait d'être plutôt le 3 que le 8...

[chan79]

essai de représentation graphique de la fonction proposée en début de fil:

La continuité en tout point irrationnel ne surprend pas trop, puisque, étant donné, l'ensemble des points situé au dessus de la droite d'équation est fini.
Des sortes de "triangles" s'agglutinent sur l'axe des x.
Mais on voit mal une tangente horizontale aux points irrationnels.

[Lostounet]

Merci Chan!

Pour les nombres de Liouville de Ben par contre.. fallait le trouver xD

[Ben314]

Pour les nombres de Liouville de Ben par contre.. fallait le trouver xD

On va dire que c'est encore du "relativement classique" : par exemple il en parlent en bas ("fonction de Thomae modifiée") de la page de Wiki concernant la "fonction de Thomae".